Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích một đa thức thành nhân tử

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích một đa thức thành nhân tử

1. Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8 Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN MƠN TỐN 8 MỤC LỤC Từ trang Stt Nội dung đến trang PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Lý do chọn đề tài - mục đích 2 đến 3 nghiên cứu PHẦN THỨ HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1 Các hệ thống cư bản 3 đến 4 2 Những vấn đề cần giải quyết Phần I: Các bài tốn phân tích đa 4 đến 19 thức thành nhân tử và khai thác các kết quả của chúng. Phần II: Một số lợi ích của việc 19 đến 28 phân tích đa thức thành nhân tử. 3 Kết quả 28 đến 29 4 Bài học kinh nghiệm 29 5 Phạm vi áp dụng - Hướng đề xuất 29 đến 31 PHẦN THỨ BA: KẾT KUẬN 1 Kết luận 32 2 Bài tập đề nghị 32 đến 33 3 Danh mục tài liệu tham khảo 33 Người thực hiện: Nguyễn Thị Thuỳ Linh Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang Trang 1
2. Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8 Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ I/ Lý do chọn đề tài - mục đích nghiên cứu: Ở trường phổ thơng học sinh học sinh đã được học rất nhiều các bộ mơn khác nhau. Một trong các bộ mơn mà các em đã được học và yêu thích đĩ là bộ mơn Tốn bởi lẽ nĩ là bộ mơn khoa cĩ tác dụng học giúp các em phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, phát huy tính tích cực trong học tập. Việc học tốt mơn Tốn là cơ sở giúp các em học tốt các mơn học khác. Là giáo viên dạy Tốn tơi thấy việc hướng dẫn các em biết cách giải đối với từng loại tốn là rất cần thiết. Trong chương trình đại số lớp 8 cĩ một mảng kiến thức hết sức quan trọng, việc nắm vững phương pháp giải loại tốn này sẽ giúp cho các em rất nhiều trong việc giải các bài tốn khác cĩ dạng tốn: Phân tích đa thức thành nhân tử. Bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử được ứng dụng rất nhiều trong các bài tốn khác như giải phương trình, rút gọn phân thức, tính giá trị biểu thức Qua nhiều năm giảng dạy bộ mơn tốn 8 tơi thấy rất nhiều học sinh lúng túng khi gặp bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt đối với học sinh trung bình, học sinh yếu. Đặt biệt đối với học sinh khá, giỏi thì bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử làm cho các em hết Sức thích thú, say mê học tập. Trong tơi lúc nào cũng đặt ra câu hỏi “làm thế nào để cho các đối tượng học sinh đều thích thú, say mê học đối với dạng tốn này”?. Trong phạm vi đề tài này tơi muốn đưa ra các phương pháp để giúp các em học sinh lớp 8 cĩ một kĩ năng thành thạo, phương pháp giải tốt nhất đối với dạng tốn này. Vì việc tập hợp hệ thống các bài tốn ở dạng này là rất cần thiết đối với các đối tượng học sinh, đặt biệt là các em học sinh khá giỏi. Qua đĩ giúp các em biết vận dụng dạng tốn này để giải các bài tốn khác. Trong chương trình đại số 8 sách giáo khoa cĩ đưa ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đĩ là: + Đặt nhân tử chung. + Dùng hằng đẳng thức. + Nhĩm các hạng tử. + Phối hợp nhiều phương pháp. Trong thực tế cĩ những bài tốn ở dạng này rất phức tạp khơng thể áp dụng các phương pháp trên để giải được. Gặp các bài như vậy thì các em lại lung túng khơng biết làm thế nào và sử dụng phương pháp nào để giải. Qua thực tế giảng dạy tơi thấy việc hệ thống các phương pháp giải đối với từng loại là rất cần thiết nĩ giúp các em thấy được sự đa dạng và phong phú về nội dung của từng loại tốn. Đồng thời giúp cho các em cĩ một cách nhìn nhận dưới nhiều gĩc độ khác nhau của một dạng tốn, từ đĩ kích thích các em cĩ sự tìm tịi sang tạo, khám phá những điều mới lạ say Người thực hiện: Nguyễn Thị Thuỳ Linh Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang Trang 2
3. Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8 Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán mê trong học tập, cĩ nhiều hứng thú khi học bộ mơn tốn. Với hy vọng nhỏ là làm sao cho các em học sinh cĩ thể thực hiện được các bài tốn phân tích một đa thức thành nhân tử một cách say mê và hứng thú đã giúp tơi chọn chuyên đề: “Phân tích một đa thức thành nhân tử” PHẦN THỨ HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I/ Các hệ thống kiến thức cơ bản: Trước hết cần nhắc lại một số kiến thức cơ bản phục vụ cho vioệc giải bài tốn “Phân tích đa thức thành nhân tử” 1/ Định nghĩa: Phân thích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đĩ thành một tích của những đơn thức khác. 2/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thơng thường. a. Đặt nhân tử chung. b. Dùng hằng đẳng thức. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ (A+B)2=A2+2AB+B2 (A-B)2=A2-2AB+B2 A2-B2=(A+B)(A-B) (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2) A3+B3=(A-B)(A2+AB+B2) c. Nhĩm các hạng tử. d. Phối hợp các phương pháp trên. 3/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phưưong pháp khác. a. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. b. Thêm, bớt cùng một hanạg tử. c. Đặt ẩn phụ. d. Dùng phương pháp hệ số bất định. e. Nhẩm nghiệm. f. Đổi dấu một hạng tử A=-(-A). g. Cho đa thức f(x), đa thức này cĩ nghiệm x=a khi và chỉ khi f(a)=0. n n-1 1 h. Cho đa thức f(x)=anx + an-1x + + a1x +a0. Đa thức này nếu cĩ nhiều nghiệm là số nguyên thì nghiệm đĩ phải là ước của a0. II/ Những vấn đề cần giải quyết. Như đã nêu trong phần đầu các bài tốn phân tích thành nhân tử được sắp xếp ở ngay đầu chương I sau các bài nhân đa thức và hằng đẳng Người thực hiện: Nguyễn Thị Thuỳ Linh Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang Trang 3
4. Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8 Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán thức, với thời lượng chỉ cĩ 6 tiết bao gồm 6 tiết lý thuyết và 1 tiết luyện tập thì các em học sinh chỉ hồn thành phần bài tập chứ chưa nĩi đến việc khai thác và xem xét các ứng dụng của các phương pháp phân tích đĩ. Để rèn luyện kỹ năng cho học sinh trong quá trình giải các bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử tơi đã phân dạng các bài tốn thành hai loại: - Bài tập thơng thường và các bài tập được khai thác từ đĩ. - Các bài tốn ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử. Phần I: Các bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử và khai thác các kết quả của chúng. I. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương paháp thơng thường (Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhĩm các hạng tử ) Đây là các phương pháp được dùng cho các bài tốn phân tích ở mức độ đơn giản. Tuy nhiên cĩ những đa thức cần phải biến đổi một số bước. Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a. x2 – 3x b. 12x3 – 6x2 + 3x 2 c. x2 5x3 x2 y d. 14x2y – 21xy2 +28x2y2 5 Giải a.x 2 – 3x = x(x – 3) b. 12x3 – 6x2 + 3x = 3x(4x2 – 2x + 1) 2 2 c. x2 5x3 x2 y = x2 ( 5x y ) 5 5 d. 14x2y – 21xy2 +28x2y2 = 7xy(2x – 3y +4xy). Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a. 5x2(x – 2y) – 15xy(x – 2y) b. x(x + y) +4x +4y Giải a. 5x2(x – 2y) – 15xy(x – 2y) = (x – 2y)( 5x2 - 15xy) =(x – 2y)5x(x – 3y) b. x(x + y) +4x +4y c. = x(x + y) +(4x +4y) = x(x + y) + 4(x + y) = (x + y)(x + 4) Nhận xét: Ở hai ví dụ trên việc phân tích đa thức thành nhân tử ở mức độ đơn giản. Học sinh nhận thấy ngay được nhân tử chung. Nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung phải đổi dấu các hạng tử cĩ trong đa thức ở ví dụ sau: Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a. 10x(x – y) – 8y(y – x) Người thực hiện: Nguyễn Thị Thuỳ Linh Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang Trang 4
5. Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8 Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán b. 5x(x – 2000) – x + 2000 Giải a. 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = (x – y)( 10x + 8y) = 2(x – y)( 5x + 4y) b. 5x(x – 2000) – x + 2000 =5x(x – 2000) –(x – 2000) = (x – 2000)(5x – 1) Lỗi thường gặp của các em học sinhkhi giải bài tốn dạng này chính là khơng biết nhĩm hay đổi dấu các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung nên cần hướng dẫn học sinh chi tiết để các em cĩ thể thực hiện một cách dễ dàng. Tuy nhiên trong các ví dụ đã nêu các em học sinh chỉ cần cĩ một chút cố gắng thì sẽ thực hiện được bài tốn nhưng cũng là phân tích đa thức bằng cách đặt nhân tử chung thì bài tốn sau đây địi hỏi các em phải cĩ một cố gắng nhất định thì mới thực hiện được: Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a. (a – b)x + (b – a)y – b + a b. (a + b – c)x2 – (c – a – b)x Giải a. (a – b)x + (b – a)y – b + a = (a – b)x - (a – b)y + (a – b) = (a – b)(x – y + 1) b. (a + b – c)x2 – (c – a – b)x = (a + b – c)x2 + (a + b – c)x = (a + b – c)x(x + 1) Nhận xét: Trong hai ví dụ vừa nêu trong ví dụ 1 học sinh cĩ thể biết đổi dấu ở hạng tử thứ hai từ b – a thành a – b để xuất hiện nhân tử chung nhưng đối với hạng tử thứ ba thì các em dễ bị nhầm lẫn và cho rằng khơng cĩ nhân tử chung nhưng chỉ cần hướng dẫn các em đổi vị trí của a và b thì sẽ cĩ nhân tử chung, cũng bằng nhận xét tương tự như vậy ta cĩ cách làm tương tự đối với ví dụ thứ hai. Vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử đây là cách làm thơng dụng nhất được áp dụng nhiều nhất. Để áp dụng phương pháp này yêu cầu học sinh phải nắm chắt bảy hằng đẳng thức đáng nhớ. Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a. x2 – 6x + 9 b. x2 – 6 c. 1 – 27x3 Người thực hiện: Nguyễn Thị Thuỳ Linh Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang Trang 5
6. Đề tài nghiệp vụ sư phạm – Môn Toán lớp 8 Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán 1 d. x3 x3 e. –x3 + 9x2 – 27x +27 Giải a. x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 b. x2 – 6 = (x 6)(x 6) c. 1 – 27x3 = (1 – 3x)(1 + 3x + 9x2) 1 1 1 d. x3 = (x )(x2 1 ) x3 x x2 e. –x3 + 9x2 – 27x +27 = - (x3 - 9x2 + 27x -27) = -(x – 3)3 Ở ví dụ trên là các hằng đằng thức đã được triển khai. Việc phân tích chỉ là cách viết theo chiều ngược lại của các hằng đẳng thức các enm học sinh dễ dàng thực hiện được nếu như các em thuộc và biết cách vận dụng các hằng đẳng thức, thế nhưng trong các ví dụ sau đây thì muốn áp dụng được hằng đẳng thức thì các em phải cĩ sự biến đổi thì mới cĩ hằng đẳng thức. Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a. (x + y)2 – 6(x + y) + 9 b. 16a2 – 49(b – c)2 c. 49(y – 4)2 - 9(y – 2)2 Giải a. (x + y)2 – 6(x + y) + 9 = (x + y)2 – 6(x + y) + 32 = (x + y – 3)2 b. 16a2 – 49(b – c)2 = (4a)2 7(b c)2 = (4a – 7b + 7c)(4a + 7b - 7c) c. 49(y – 4)2 - 9(y – 2)2 7(y 4)2 3(y 2)2 7(y 4) 3(y 2)7(y 4) 3(y 2) 7(y 4) 3(y 2)(7(y 4) 3(y 2) 7y 28 3y 6)(7y 28 3y 6) (4y 22)(10y 34) Ta cĩ thể thấy trong 3 ví dụ trên khơng khĩ nhưng vấn đề ở chỗ là học sinh khơng nhận dạng đưộc hằng đẳng thức ngay cho nên việc phân tích sẽ gặp khĩ khăn vì thế trong những ví dụ dạng như thế nên hướng dẫn các em nhận dạng sau đĩ thì phân tích. Phương pháp thứ ba để phân tích một đa thức thành nhân tử đĩ là phương pháp nhĩm các hạng tử. Đối với phương pháp này cần lưu ý cho Người thực hiện: Nguyễn Thị Thuỳ Linh Giáo viên trường THCS Đông Phú – huyện Châu Thành – tỉnh Hậu Giang Trang 6