Sáng kiến kinh nghiệm Phân dạng và phương pháp giải các bài toán có chứa dấu trị giá trị tuyệt đối

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phân dạng và phương pháp giải các bài toán có chứa dấu trị giá trị tuyệt đối

1. Mục lục A. Mở đầu 2 B. Nội dung 4 Chương I: Định nghĩa và các tính chất cơ bản về giá trị 4 tuyệt đối Chương II: Các dạng toán và phương pháp giải 6 1. Dạng 1:Rút gọn biểu thức: 6 2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức: 8 3. Dạng 3: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: 9 4. Dạng 4: Hệ phương trình chứa dấu trị tuyệt đối . 14 17 5. Dạng 5: Bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối C. Kết luận: 20 d.Tài liệu tham khảo . 21 1
2. A. Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài: Trong dạy học toán thì việc tìm ra những phương pháp giảng dạy phù hợp với trình độ học sinh là một yêu cầu rất quan trọng đòi hỏi người giáo viên phải biết chọn lọc, phối hợp tốt các phương pháp giảng dạy. Việc lựa chọn những ví dụ điển hình mang bản chất lí thuyết, hệ thống các bài tập minh hoạ, áp dụng và khắc sâu kiến thức nâng cao là rất quan trọng. Thông qua dạy học Toán, người học được cung cấp những kĩ năng tính toán, những thao tác tư duy, đặc biệt là có điều kiện rèn luyện và phát triển tư duy lôgíc. Điều này được thể hiện rõ trong việc giải các bài tập toán mà việc giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối là điều kiện tốt để phát triển những phẩm chất nói trên. Thực trạng hiện nay khi dạy giải các bài toán có liên quan đến dấu giá trị tuyệt đối ở trường THCS là: Thời lượng và kiến thức đưa vào chương trình THCS tương đối ít, không liền mạch, phương pháp giải còn hạn chế. Giáo viên khi dạy về vấn đề này thường chỉ chữa các bài tập chứ ít chú ý đến việc khai thác, phân tích, đưa ra phương pháp cho từng dạng toán cơ bản. Học sinh thường ngại giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối, các hiện tượng giải thiếu trường hợp, dài dòng dẫn đến sót nghiệm, sai lời giải là rất phổ biến. Qua tìm hiểu thực tế, từ giảng dạy và học tập bản thân tôi đã tích luỹ được một số dạng toán cơ bản có chứa dấu giá trị tuyệt đối và phương pháp giải những dạng bài toán đó, xin được trình bày một khía cạnh nhỏ. 2. Mục đích nghiên cứu: 2.1. Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn Toán nói chung và việc giải các bài tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối, các phương pháp giải cơ bản làm công cụ cho các em phát huy trong việc giải các bài toán liên quan khó, phức tạp hơn. 2.2. Tập được hứng thú cho học sinh khi giải các bài tập trong SGK, các tài liệu tham khảo, giúp học sinh tự giải được các bài tập liên quan. 2
3. 2.3. Giải đáp được một số thắc mắc, sai lầm hay gặp ở giải toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Đề tài áp dụng đối với học sinh khá giỏi các lớp 7,8,9 và trong các giờ luyện tập, ôn tập, ôn tập cuối kì, ôn tập cuối năm, kì thi học sinh giỏi THCS, thi vào PTTH 5. Những đóng góp về mặt lý luận, thực tiễn của đề tài: 5.1. Về mặt lý luận: - Tạo cho học sinh có được một phương pháp phù hợp khi giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 5.2. Về mặt thực tiễn: Đề tài giúp học sinh THCS có được những kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối khắc phục những sai lầm khi giải bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối, có hứng thú nghiên cứu tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này. 3
4. B .nội dung Chương I: Định nghĩa và các tính chất cơ bản về giá trị tuyệt đối 1. Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của một số thực x là một số thực không âm, kí hiệu là x và được xác định như sau: x nếu x 0 x - x nếu x < 0 * Mở rộng: Với A(x) là một biểu thức tuỳ ý ta cũng có: A(x) nếu A(x) 0 A(x) - A(x) nếu A(x) < 0 2. Hệ quả: 2.1. x 0,x R 2.2. x x x 2.3. x x 2.4. 0 x x hoặc x 2.5. x ( 0) x 2.6. xy x . y x x 2.7. (y 0) y y 2.8. x 2 x 2 2.9. x 2 x 3. Tính chất cơ bản về giá trị tuyệt đối. 3.1. Định lý 1: Nếu x, y là hai số thực thì x y x y dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x.y 0 . Chứng minh: Ta có: x y 2 x 2 2 x y y 2 x 2 2 xy y 2 x 2 2xy y 2 (x y) 2 4
5. Vậy x y x y Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi xy 0 3.2. Định lý 2: x y x y , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi xy 0và x y Chứng minh: Tương tự định lý 1 3.3. Định lý 3: Nếu x, y là hai số thực thì x y x y x y Chứng minh: Ta có x = (x y) y x y y (áp dụng định lý1) x y x y Mặt khác x y y x y x (áp dụng định lý2) Nên x y x y - x y x y x y x y x y (1) Ta lại có x y x ( y) x y x y (2) Từ (1) và (2) có x y x y x y x y * Chú ý: Nếu thay y bằng - y ta có x y x y x y Trên đây là những vấn đề cơ bản về giá trị tuyệt đối, việc nắm vững vấn đề này sẽ góp phần làm đơn giản hoá việc giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 5
6. Chương II: Các dạng toán và phương pháp giải 1. Dạng 1:Rút gọn biểu thức: 1.1. Phương pháp giải. - Cách 1: Dùng các phép biến đổi Nội dung biến đổi để nhằm loại bỏ các dấu trị tuyệt đối khỏi biểu thức để có tiến hành các phép tính đại số quen thuộc. Các phép biến đổi thường dùng là sử dụng định nghĩa của giá trị tuyệt đối, các hệ quả đã nêu ở trên. - Cách 2: Lập bảng xét dấu: Sử dụng quy tắc về dấu của nhị thức bậc nhất b b “Nhị thức ax + b(a 0) cùng dấu với a khi x > - , trái dấu với a khi x thì A 1 2 x 3 x 3 -1 nếu x và x 3 2 3 2x x Bài 2: Rút gọn B 2x 2 2x 3 Giải: Để giải bài toán này có thể lập bảng xét dấu như sau: x - -3/2 0 3/2 + x -x -x x x 3 2x 3-2x 3-2x 3-2x 2x-3 2x 3 -2x-3 2x+3 2x+3 2x+3 Tử 3-x 3-x 3-3x x-3 Mẫu -5 4x+1 4x+1 4x+1 6
7. 3 3 Kiểm ta lại các kết quả tại các đầu mút ( x , x 0, x ) ta đi đến kết luận sau: 2 2 x 3 3 với x 5 2 3 x 3 B = với x 0 4x 1 2 3 3x 3 với 0 x 4x 1 2 x 3 3 với x 4x 1 2 Bài 3: Rút gọn x 1 x 2 2(x 1) 2 C x 1 x 2 x 1 x 2 (x 1) 2 (x 2) 2 Giải: Đặt: a x 1;b x 2 a b 2a 2 Khi đó: C a b a b a 2 b 2 a(a b) b(a b) 2a 2 C a 2 b 2 a 2 ab ab b 2 2a 2 C a 2 b 2 b 2 a 2 C 1 a 2 b 2 Nhận xét: * Đối với những bài toán dạng rút gọn mà biểu thức chỉ chứa một hoặc hai dấu trị tuyệt đối ta nên xét trực tiếp các khoảng dựa vào định nghĩa giá trị tuyệt đối. * Đối với những bài toán có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối ta nên dùng phương pháp lập bảng. Lập bảng cần chú ý xét các giá trị đầu mút. * Đối với dạng toán tương tự bài 3 thì phương pháp xét trực tiếp, hoặc lập bảng sẽ cho ta lời giải khá phức tạp nên việc đặt như trên lời giải sẽ ngắn gọn hơn. 1.3.Bài tập luyện tập: Rút gọn các biểu thức sau: 3x 2 1 x 1. A 3x 2 3x 7
8. x 2 4x 4 x 2 2. B 3 x 2 x 2 x 4 x 2 x 4 2(x 4) 2 3. C 2( x 2 x 4 2( x 2 x 4 ) (x 2) 2 (x 4) 2 2.Dạng 2: Chứng minh đẳng thức: 2.1. Phương pháp giải: Để chứng minh A = B ta có thể chứng minh A - B = 0 hoặc biến đổi : A B hoặc B A hoặc A C và B C 2.2. Ví dụ: Cho hai số x, y thoả mãn xy 0 x y x y Chứng minh rằng: xy x y xy (*) 2 2 2 2 x y x y Giải: (*) xy xy x y 0 2 2 2 2 x y x y Đặt A = xy xy 0.Ta có: 2 2 2 2 x 2 y 2 xy xy A2 = xy + + + x xy + y xy + + xy - x xy - y xy + 4 4 2 2 x 2 y 2 x y + + + 2xy - 2( )2 4 4 2 2 2 2 x y x y x y = x2+2xy+y2 (Do xy nên 2xy 2 = 2 2xy) 2 2 2 A2 = (x+y)2 A x y VT = x y x y Do xy 0 => x y x y Vậy VT = 0 .Bài toán được chứng minh 2.3. Bài tập luyện tập: Chứng minh x R* thì x . x 1 x 1. x 1 x 1. x 1 ( x 1 x )( x 1 x 1) ( x x 1)( x x 1) ( x 1 x 1)( x 1 x ) Hướng dẫn: Đặt a x 1 , b x , c x 1 8
9. 3.Dạng 3: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: 3.1. Phương trình dạng A B 3.1.1 Phương pháp giải: B 0 A B A B 3.1.2. Ví dụ. Bài 1: Giải các phương trình sau: a).2x 5 6 x b). x 2000 x 2000 Giải: 6 x 0 6 x 0 a. 2x 5 6 x (1) hoặc (2) 2x 5 6 x 2x 5 x 6 6 x 0 x 6 1 Giải (1): x 2x 5 6 x 3x 1 3 6 x 0 x 6 Giải (2): x 11 2x 5 x 6 x 11 1 Vậy phương trình có 2 nghiệm là x và x = -11 3 b. x 2000 x 2000 x 2000 0 x 2000 Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm thoả mãn x 2000 Bài 2: Giải phương trình sau: .10 3 x 5x Giải: 10 3 x 5x 3 x 10 5x 10 5x 0 10 5x 0 (3) hoặc (4) 3 x 10 5x 3 x 5x 10 x 2 10 5x 7 Ta có (3) 7 x 4x 7 x 4 4 x 2 x 2 Ta có (4) 13 (loại) 6x 13 x 6 9
10. 7 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 4 Bài 3: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m 2x 1 4x 2m (1) 4x 2m 0 4x 2m 0 Giải: 2x 1 4x 2m (a) hoặc (b) 2x 1 4x 2m 2x 1 (4x 2m) m x 4x 2m 2 Ta có (a) 2x 1 2m 1 2m x 2 1 2m m Như vậy để phương trình (1) có nghiệm thì từ (a) ta phải có . 2 2 1 2m m Tương tự để phương trình có nghiệm thì từ (b) ta phải có 6 2 1 2m m Nếu thì 1 2m m m 1 2 2 1 2m m Nếu thì 1 2m 3m m 1 6 2 1 2m Tóm lại: - Nếu m 1 phương trình đã cho có nghiệm là x 6 1 2m - Nếu m 1 phương trình đã cho có nghiệm là x 2 3.1.3. Bài tập luyện tập. Bài 1: Giải các phương trình sau: 1. 5x 2005 2006 2 x 2. x m x m (m const) 3. 3x 1 2 4 3x 4.105 4 100 3x 2 Bài 2: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m 1, 2x 1 2x 3m 2, 2x 1 m 4x 3,6m 3x 2 4x 4, m x 2 4 m 10
11. 3.2. Phương trình dạng A B 3.2.1. Phương pháp giải: A B A B 3.2.2. Ví dụ: Bài 1: Giải phương trình 3x 9 9x 3 Giải: 3x 9 9x 3 3x-9 = 9x-3 (1) hoặc 3x-9 = -(9x-3) (2) Giải (1): 3x-9 = 9x-3 Giải (2): 3x-9 = -9x+3 6x = -6 12x = 12 x = -1 x = 1 Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 Bài 2: Giải phương trình: x 1 x(x 1) Giải: Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau: x . x 1 x 1 0 x 1 ( x 1) 0 x 1 0 x 1 x 1 x 1 0 x 1 x 1 Vậy PT đã cho có nghiệm là x = 1 Bài 3: Giải phương trình: 2x 1 3x 1 3 (3) Giải: (3) 3x 1 3 2x 1 (3’) hoặc 3x 1 3 (2x 1) (3’’) Giải phương trình (3’) 3x 1 2x 2 2x 2 0 2x 2 0 hoặc 3x 1 2x 2 3x 1 2x 2 x 1 x 1 ; hoặc 3 x 1 x 5 Giải phương trình (3’’) 3x 1 4 2x 11