Sáng kiến kinh nghiệm Một số vấn đề về dạy học số chính phương

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số vấn đề về dạy học số chính phương

1. Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Một số vấn đề về dạy học số chính phương. Phần A : Đặt vấn đề I- Lý do chọn đề tài: 1. Cơ sở lý luận Năm học 2006-2007 là năm học thứ 5 thực hiện chương trình bộ SGK mới môn “Toán” bậc THCS . Đây là một chương trình giảm tải, tăng phần thực hành và gắn bó với đời sống. Hơn bao giờ hết vấn đề cập nhật với phương pháp giảng dạy mới, vấn đề cải tiến phương pháp giảng dạy luôn luôn được đặt lên hàng đầu. Chúng ta nói đến việc đổi mới phương pháp dạy học bởi thực trạng trong dạy học của nhiều năm học trước còn phổ biến hiện tượng : “ Dạy áp đặt , học thụ động”. Cốt lõi của sự đổi mới này là phát huy tính tích cực chủ động của người học. Tuy nhiên , phát huy tính tích cực , chủ động của học sinh như thế nào , bằng biện pháp gì? vận dụng trong dạy học ra sao? thì đó vẫn luôn là vấn đề mới. Dạy học phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh là phù hợp với quy luật của tâm lí học, bởi tính tích cực chủ động sẽ dẫn tới tự giác từ đó khơi dạy tiềm năng to lớn của học sinh. Dạy học phát huy tính tích cực chủ động của học sinh cũng phù hợp với đặc điểm lứa tuổi học sinh THCS, bởi lứa tuổi đó là lứa tuổi ưa hoạt động , thích khám phá . Dạy học phát huy tính tích cực của học sinh cũng đáp ứng yêu cầu của đất nước khi bước vào thời kì đổi mới, thời kì đòi hỏi những con người lao động phải năng động tự chủ, giàu tính thích ứng. Từ những định hướng đổi mới trên đây, trong giảng dạy môn Toán ngoài việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, thì việc phát huy tính tích cực của học sinh trong việc mở rộng kiến thức, vận dụng các kiến thức vào giải bài tập có liên quan là việc làm rất cần thiết đặc biệt là cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Là một giáo viên dạy Toán ở trường THCS tôi cũng đã bắt nhịp được với tinh thần giảng dạy đổi mới đó. Trong quá trình giảng dạy môn Toán thì điều mà tôi trăn trở và cũng tâm đắc nhất là đề tài: Dạy học về số Chính phương.” 2. Cơ sở thực tiễn Trong chương trình Toán THCS phần số học chiếm một tỷ lệ không cao, song những kiến thức mở đầu này lại là nền tảng , là cơ sở cho các kiến thức mới khác. Đối với môn Toán 6, các em đã được học về các bài toán liên quan đến phép chia hết và đặc biệt là được giới thiệu về số chính phương. Và bắt đầu từ những khái niệm đơn giản này các em sẽ được làm quen với nhiều dạng bài liên quan đến số chính phương trong chương trình Toán THCS . Đây chính là điều kiện để các em được củng cố kiến thức, áp dụng kiến thức một cách linh hoạt, sáng tạo; phát huy tính cực, độc lập , chủ động chiếm lĩnh kiến thức.
2. Hầu hết học sinh lớp 6 đều biết định nghĩa về số chính phương , nhưng thực tế cho thấy những bài toán về số chính phương khi các em gặp phải trong các sách bồi dưỡng, sách nâng cao không đơn giản chút nào. Bởi vì để giải được bài toán khó các em không chỉ dựa vào định nghĩa mà còn phải dựa vào nhiều tính chất của số chính phương , mà các tính chất này khi học lên các lớp 7 , 8, 9 các em sẽ có cách nhìn sâu sắc hơn. Những kiến thức về số chính phương trong SGK rất ít , chủ yếu học sinh được tiếp cận, được làm quen trong quá trình đọc các tài liệu tham khảo. Đây cũng chính là nguyên nhân nhiều khi học sinh vấp phải những bài toán về số chính phương, nhưng chưa định hình được hướng giải quyết. Do đó, trong quá trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh, giáo viên có thể đưa ra cách nhìn , phương pháp giải đối với từng dạng toán cụ thể sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh Khá - Giỏi, học sinh các khối lớp.Giáo viên có thể khai thác triệt để dạng toán này đối với học sinh lớp 8 , 9 song có thể yêu cầu ở mức độ vừa phải đối với lớp 6. Dạy học về số chính phương, có thể hiểu đây là phương pháp dạy giải toán về số chính phương (thông qua các tiết trên lớp hoặc khi bồi dưỡng học sinh) nhằm mục đích hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ và tìm tòi lời giải của một bài toán chính phương trên cơ sở các kiến thức đã học. Phần B : Giải quyết vấn đề I- Những vấn đề cơ bản của số chính phương 1. Định nghĩa : * Số chính phương: Là một số viết được dưới dạng bình phương của một số tự nhiên khác. VD: Có 9 = 32 , 25 =52 Các số 9 và 25 là bình phương của các số tự nhiên của 3 và 5 nên 9 và 25 được gọi là các số chính phương. 2. Một số tính chất: * Tính chất 1 : Số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi 0;1;5 ;6 ;9 , không thể tận cùng bởi các số 2; 3; 7;8. * Tính chất 2 : Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ. Chứng minh: Giả sử A = m2 và m = ax.by.cz trong đó a,b,c là các số nguyên tố khác nhau, còn x,y,z là các số dương.
3. Thế thì: A = m2 = (ax.by.cz )2 = a2x.b2y.c2z Từ tính chất này ta suy ra: - Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. - Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. - Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25. - Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16. Tổng quát: Nếu số chính phương A chia hết cho p2k+ 1 thì A chia hết cho p2k+2 (p là số nguyên tố k N) * Tính chất 3 : Số lượng các ước của một số chính phương là số lẻ. Đảo lại, một số có số lượng các ước là số lẻ thì số đó là số chính phương. Chứng minh: Thật vậy : - Nếu A = 1 => A là số chính phương có 1 ước. - Nếu A > 1 => A có dạng phân tích ra thừa số nguyên tố là - A = ax.by.cz thì số lượng các ước của A là (x+1).(y+1).(z +1) a, Nếu A là số chính phương =>x,y,z là số chẵn =>x+1; y+1 ; z+1; là các số lẻ. => (x+1); (y+1) ; (z+1); là số lẻ. Vậy số lượng các ước của A là số lẻ. b, Nếu A có số lượng các ước là số lẻ tức là (x+1); (y+1) ; (z+1); là số lẻ => x+1; y+1 ; z+1; là các số lẻ. =>x, y,z là các số chẵn. Ta đặt x= 2m, y= 2n; z = 2p ( với m;n;p N) Khi đó A= a2m b2nc2p = (am.bn.cp )2 nên A là số chính phương. * Tính chất 4 : Một số chính phương có tận cùng là 5 thì số hàng chục là 2. Chứng minh: Giả sử A = a52 =(10a+ 5)2 = 100a2 +100a +25. Vì chữ số hàng chục của 100a2 +100a là chữ số 0 nên chữ số hàng chục của A là 2. * Tính chất 5 : Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ.
4. Chứng minh: - Giả sử A = a2 là một số chính phương có chữ số tận cùng là 6 thì chữ số hàng đơn vị của a chỉ có thể là 4 hoặc 6. - Nếu hai chữ số tận cùng của số a là b4. Khi đó b42 = (10b+4)2 = 100b2 +80b +16. Vì chữ số hàng chục của 100b2 +80b là chữ số chẵn nên chữ số hàng chục của b42 là số lẻ Vậy số hàng chục của A là số lẻ. - Nếu hai chữ số tận cùng của a là b6 ta cũng chứng minh tương tự. * Tính chất 6: Số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. Chứng minh: Ta xét các trường hợp sau: - Nếu A = (3k)2 =9k23 - Nếu A = (3k +1)2=9k2 +6k + 1 chia cho 3 dư 1 - Nếu A = (3k +2)2=9k2 +12k + 4 chia cho 3 dư 1. * Tính chất 7: Một số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. Chứng minh: Thật vậy: - Nếu A = (2k)2 = 4k2 4 - Nếu A = (2k +1)2 =4k2 + 4k + 1chia cho 4 dư 1. Như vậy theo tính chất này ta thấy: - Một số chính phương chẵn thì chia hết cho 4. - Một số chính phương lẻ thì chia cho 4 dư 1. - Mặt khác ta có (2k+1)2 = 4k2 +4k +1 = 4k(k+1) +1 Mà tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 2 nên 4k(k +1)  8. Do đó ta có nhận xét sau: Một số chính phương lẻ thì chia cho 8 dư 1. Tương tự như các tính chất trên ta có thể chứng minh được một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có thể dư 0 hoặc dư 1 hoặc dư 4.
5. * Tính chất 8: Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào. Thật vậy: - Nếu n là số tự nhiên và có số tự nhiên k thỏa mãn n2 n k2 = (n+1)2 * Tính chất 9 : Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a, b là số chính phương thì a, b đều là số chính phương. * Tính chất 10: Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số đó là số 0. II. Một số dạng bài về số chính phương. 1. Chứng minh một số là số chính phương. Để chứng minh số A là số chính phương, tùy từng bài toán ta lựa chọn phương pháp nào cho phù hợp . Sau đây là hai phương pháp thường dùng. 1.1. Vận dụng định nghĩa về số chính phương. Theo phương pháp này ta sẽ tìm cách biến đổi A thành bình phương một số tự nhiên ( hoặc số nguyên) * Bài toán 1: Cho a = 11 15 và b = 11 19 n chữ số 1 n chữ số 1 Chứng minh rằng : ab +4 là số chính phương. Giải: Ta có b = 11 19 = 11 15 +4 = a +4 n chữ số 1 n chữ số 1  ab +4 = a.(a+4) +4 = a2 +4a +4 = (a+2)2 = 11 172 n chữ số 1 Vậy ab + 4 là số chính phương * Bài toán 2: Chứng minh rằng : Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương. Giải : Thật vậy , ta gọi tích của 4 số tự nhiên liên tiếp có dạng: n(n+1)(n+2)(n+3) Khi đó A = n (n+1)(n+2)(n+3) +1 = (n2 +3n +2)(n2+3n) +1
6. = (n+3n)2 +2(n2 +3n)+1 = (n2+ 3n +1)2 Vậy A là số chính phương. * Bài toán 3: Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2. Chứng minh rằng : A-B là một số chính phương. Giải: 100 chữ số 9 99 9 10100 1 Ta có A = 11 1 9 9 100 chữ số 1 2(1050 1) Tương tự B = 22 2 9 50 chữ số 2 100 50 100 50 50 2 10 1 2(10 1) 10 2.10 1 10 1 2 =>A –B (33 3) 9 9 9 3 50 chữ số 3 Cách 2: B = 22 2 = 2.11 1 50 chữ số 1 50 chữ số 1 A = 11 1 = 11 1 00 0+ 11 1 100 chữ số 1 50 chữ số 1 50 chữ số 0 50 chữ số 1 = 11 1.1050+11 1 50 chữ số 1 50 chữ số 1 Đặt C = 11 1 =>9C = 99 9 +1 50 chữ số 1 50 chữ số 9 =>9C +1 = 99 9 +1 50 chữ số 1 =>9C+1=1050 Khi đó : A = C. (9C +1) +C =9C2 +2C B = 2C A –B = 9C2 +2C -2C = 9C2 =(3C)2 = (33 3)2 50 chữ số 3 Nhận xét: Như vậy khi giải bài toán về số chính phương mà tồn tại số có nhiều chữ số giống nhau ta có thể đặt C = 11 1 và chú ý rằng :
7. n chữ số 1 10n = 99 9 +1 = 9C +1. Sau đó ta thay vào biểu thức n chữ số 1 Từ bài toán 3 này ta có thể chứng minh bài toán tổng quát sau: * Bài toán tổng quát: Cho k số tự nhiên khác 0, số tự nhiên A gồm 2k chữ số 1 và số tự nhiên B gồm k chữ số 2. Chứng minh rằng : A-B là một số chính phương. * Bài tập áp dụng: 1, Cho hai số tự nhiên A và B trong đó số A chỉ gồm 2m chữ số 1, số B chỉ gồm m chữ số 4. Chứng minh rằng : A +B +1 là một số chính phương. 2, CMR : an+ an+1 là một số chính phương với an = 1 +2 +3+ +n 3, CMR: 1+ 3+ 5+ 7+ + n là một số chính phương(n lẻ) 4, Chứng minh các số say đây là số chính phương. a, A = 44 4 x 88 8 (n ) n chữ số 4 (n-1) chữ số 8 b, B = 11 1 – 88 8 +1 (n N) 2n chữ số1 n chữ số 8 5, Cho 3 số tự nhiên A = 44 4 ; B = 22 2 ; C = 88 8 2n chữ số 4 (n+1) chữ số 2 n chữ số 8 CMR : A +B +C + 7 là số chính phương. 6, Cho a = 11 1 ; b = 100 0 11 ( n 2) n chữ số 1 (n-2)chữ số 0 CMR : ab +4 là số chính phương. 1.2. Dựa vào tính chất đặc biệt (Tính chất 9 này) Ta sẽ chứng minh tính chất đặc biệt : Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và ab là một số chính phương thì a và b đều là số chính phương. Chứng minh: - Giả sử (a,b) = 1 và a.b = c2( c N) Khi đó ta sẽ chứng minh : a và b đều là các số chính phương. - Gọi d = (a,c)  a = a1.d ; c =c1.d ;(a1 ;c1) = 1 2 2 Mà a.b =c  a1.d.b =(c1.d) 2 a1.b = c1 .d (*) Từ (*) suy ra ;