Sáng kiến kinh nghiệm Một số sai lầm khi vận dụng các định lí và tính chất để giải các bài toán hình học không gian

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số sai lầm khi vận dụng các định lí và tính chất để giải các bài toán hình học không gian

1. MỤC LỤC Nội dung Trang MỤC LỤC 1 Phần I. Đặt vấn đề: 2 Phần II. Giải quyết vấn đề: 3 A. Cơ sở lý thuyết 3 B. Nội dung . 6 Vấn đề 1: Phát biểu một định lí không chính xác . 6 Vấn đề 2: Vận dụng các định lí trong trường hợp thiếu điều kiện 7 Vấn đề 3: Sử dụng các định lí về tương quan giữa các đường thẳng trong mặt phẳng đem mở rộng cho trường hợp trong không gian 9 BÀI TẬP THÊM 16 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 19 Phần III. Kết luận 19 PHỤ LỤC . 20 1
2. PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài: Hình học là phần khó của chương trình toán THPT, nhất là hình học không gian ở lớp 11 và lớp 12 đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết, có tư duy Toán nhất định mới có thể vẽ được hình, đọc được hình rồi giải các bài toán nên nhiều học sinh rất ngại khi học và làm các bài toán về hình học không gian. Đây cũng là một trong các môn học cung cấp cho học sinh nhiều kĩ năng, đức tính, phẩm chất của con người lao động mới. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh. Thông thường khi vận dụng các định lí để chứng minh các tính chất hoặc để tính toán, ta thường gặp các sai lầm. - Phát biểu một định lí không chính xác. - Vận dụng các định lí trong trường hợp thiếu điều kiện - Sử dụng các định lí về tương quan giữa các đường thẳng trong mặt phẳng đem mở rộng cho trường hợp trong không gian. Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 11CB rất e ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếu tính thực tế. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian. Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tránh được một số sai sót trong quá trình giải các bài toán hình học không gian đó là lý do tôi đúc rút trong đề tài “MỘT SỐ SAI LẦM KHI VẬN DỤNG CÁC ĐỊNH LÍ VÀ TÍNH CHẤT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN’’ 2. Mục đích nghiên cứu. 2
3. Giúp học sinh khắc phục các sai lầm khi giải toán hình học không gian. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh. Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh. 3. Đối tượng ngiên cứu: Một số định lý, tính chất của hình học không gian và ứng dụng của nó. 4. Đối tượng khảo sát, thực nghiệm Học sinh khối 11,12 năm học 2019-2020 5. Phương pháp nghiên cứu: Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau: Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài. Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn, ). Phương pháp đàm thoại phỏng vấn PHẦN II. GIẢI QUYẾT VẤN DỀ: A. Cơ sở lý thuyết I. Quan hệ vuông góc 1. Hai đường thẳng vuông góc a) Định nghĩa : a  b a¶,b 900 b) Tính chất + Giả sử u là vectơ chỉ phương của a, v là vectơ chỉ phương của b. Khi đó a  b u.v 0 b  c + a  b a  c 2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc a. Định nghĩa d  (P) d  a, a  (P) b. Tính chất Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: a,b  (P),a  b O + d  (P) d  a,d  b a P b a b + (P)  b + a P b (P)  a a  (P),b  (P) (P)P (Q) (P) (Q) + a  (Q) + (P) P Q) a  (P) (P)  a,(Q)  a 3
4. a P (P) a  (P) + b  a + a P P) b  (P) a  b,(P)  b Định lí ba đường thẳng vuông góc Cho a  (P),b  (P), a là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b  a b  a 3. Hai mặt phẳng vuông góc a. Định nghĩa (P)  (Q) ·(P),(Q) 900 b. Tính chất (P)  a Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: (P)  (Q) a  (Q) (P)  (Q) (P)  (Q),(P)(Q) c + a  (Q) + A (P) a  (P) a  (P),a  c a  A,a  (Q) (P)(Q) a + (P)  (R) a  (R) (Q)  (R) II. Góc và khoảng cách 1. Góc a. Góc giữa hai đường thẳng:a//a', b//b' a¶,b a· ',b' Chú ý: 00 a¶,b 900 b. Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng: Nếu d  (P) thì d·,(P) = 900. Nếu d  (P) thì d·,(P) = d· ,d ' với d’ là hình chiếu của d trên (P). Chú ý: 00 d·,(P) 900 a  (P) · ¶ c. Góc giữa hai mặt phẳng: (P),(Q) a,b b  (Q) a  (P),a  c · ¶ Giả sử (P)  (Q) = c. Từ I c, dựng (P),(Q) a,b b  (Q),b  c Chú ý: 00 (·P),(Q) 900 d. Diện tích hình chiếu của đa giác: Gọi S là diện tích của đa giác (H) 4
5. trong (P), S’ là diện tích của hình chiếu (H’) của H trên (Q), = (·P),(Q) . Khi đóS = S.cos 2. Khoảng cách a. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng). b. Khoảng cách giữa đường thẳng vằ mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng. c. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. d. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng + Độ dài của đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. + Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại. + Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. III. Khối đa diện và thể tích của chúng 1. Thể tích của khối hộp chữ nhật: V a.b.c với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật. 1 2. Thể tích của khối chóp V S .h 3 ñaùy với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp 3. Thể tích của khối lăng trụ: V Sñaùy .h với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ 4. Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện a. Tính thể tích bằng công thức: + Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, + Sử dụng công thức để tính thể tích. 5
6. b. Tính thể tích bằng cách chia nhỏ Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà ta có thể dễ dàng tính được thể tích của chúng. Sau đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính. c. Tính đa diện bằng cách bổ sung Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác so cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích. d. Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích Ta có thể vận dụng tính chất sau: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên V OA OB OC Ox; B, B’ trên tia Oy, C, C’ trên tia Oz ta đều có: OABC . . VOA'B'C ' OA' OB' OC ' O A' C' B' A C z x B y B. Nội dung Thông thường khi vận dụng các định lí để chứng minh các tính chất hoặc để tính toán, học sinh thường gặp các sai lầm. Vấn đề 1: Phát biểu một định lí không chính xác. Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với đáy. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. Giải SA  AB SAB vuông ở A SA  AD SAD vuông ở A 6
7. Ta cũng có SA  AB   SB  BC (theo định lý ba đường vuông góc) SBC AB  BC vuông tại B Chứng minh tương tự SDC vuông tại D S A D B C Thiếu sót chủ yếu ở lý luận trên đây là phát biểu định lý ba đường thẳng vuông góc một cách không chính xác. SA  ABCD   SB  BC AB  BC  - Vận dụng các định lí trong trường hợp thiếu điều kiện - Sử dụng các định lí về tương quan giữa các đường thẳng trong mặt phẳng đem mở rộng cho trường hợp trong không gian. Bài tập tương tự: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). a) Chứng minh các mặt bên là những tam giác vuông. b) Mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với SC lần lượt cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. Chứng minh B’D’ song song với BD và AB’ vuông góc với SB. c) Đặt BM = x. Tính độ dài đoạn SK theo a và x. Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn SK. Vấn đề 2: Vận dụng các định lí trong trường hợp thiếu điều kiện Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác, đáy ABC là một tam giác vuông góc ở đỉnh B. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đường AK vuông góc SB 7
8. và AH vuông góc với SC. Chứng minh rằng SC vuông góc với HK và AK vuông góc với HK. S H K A C B Giải: Theo giả thiết: SC  AH   SC  AHK AH  AHK  Mặt khác HK nằm trong (AHK) suy ra SC HK AK  SB  Ta có:  AK  SBC SB  SBC  AK  SBC   AK  HK HK  SBC  Những lí luận trên đây dựa trên một mệnh đề sai là: “Một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng ấy”. Thật ra, muốn kết luận SC  (AHK) ta phải chứng minh được rằng SC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng ấy, nghĩa là phải lý luận như sau: SA  ABC  BC  SB    BC  SAB BC  AK 1 AB  BC  BC  AB Theo giả thiết SB  AK (2) Từ (1) và (2) suy ra AK  (SBC) AK  HK 8
9. Tương tự chứng minh lại cho trường hợp SC  HK Bài tập tương tự: Cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB, CD và E, F lần lượt là trung điểm của SA, SB. a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) và tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). b) Gọi G là giao điểm của CE và DF. Chứng minh CF vuông góc với SA và CF vuông góc với SB. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (GEF) và (SAB). Hai mặt phẳng này có vuông góc với nhau không? Vấn đề 3: Sử dụng các định lí về tương quan giữa các đường thẳng trong mặt phẳng đem mở rộng cho trường hợp trong không gian. Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Qua đỉnh C của đáy dựng một mặt phẳng vuông góc với cạnh bên SA. Mặt phẳng này cắt các cạnh SA, SB, SD ở các điểm M, N, P. Chứng minh NP//BD. Giải: Kẻ đường cao SH SH(ABCD) SHBD (1) ABCD là hình vuông ACBD (2) Từ (1) và (2) suy ra BD (SAC) BDSA Theo giả thiết SA(CPMN) nên ta có NPSA Hai đường thẳng BD và NP cùng vuông góc với đường thẳng SA nên chúng song song với nhau. Vậy BD//NP 9