Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp tỉnh tổng của dãy số

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp tỉnh tổng của dãy số

1. A. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong quá trình học Toán ở THCS học sinh cần phải biết tổ chức công việc của mình một cách sáng tạo , vì vậy người giáo viên cần rèn luyện , hướng dẫn cho học sinh kĩ năng độc lập tư duy , sáng tạo sâu sắc . Do đó đòi hỏi người giáo viên phải lao động sáng tạo tìm tòi những phương pháp để học sinh trau dồi và tư duy lôgíc giải các bài toán. Là một giáo viên ở trường THCS trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy việc giải toán ở chương trình THCS không chỉ đơn giản là đảm bảo kiến thức sách giáo khoa , mà đó mới chỉ là những điều kiện cần nhưng chưa đủ. Muốn giải toán cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải các dạng bài toán đa dạng , giải các bài toán tỉ mỉ khoa học , kiên nhẫn để tự tìm ra đáp số của chúng. Muốn vậy người giáo viên phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều tình huống khác nhau để tạo ra hứng thú học tập cho học sinh. phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó cung cấp cho học sinh cách nhìn, cách vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản đó, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước một bài toán khó mà dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu. Một bài toán có thể có nhiều cách giải, mỗi bài toán thường nằm trong một dạng toán khác nhau đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức trong nhiều lĩnh vực , nhiều mặt một cách sáng tạo , vì vậy học sinh phải biết sử dụng phương pháp nào cho phù hợp. Trong chương trình Toán THCS nói chung và phần Số Học nói riêng có rất nhiều dạng toán hay. Các dạng toán Số Học ở chương trình THCS thật đa dạng và phong phú như : Toán chia hết; phép chia có dư; số nguyên tố; số chính phương; luỹ thừa; dãy số viết theo quy luật v . v . Đặc biệt với dạng toán “tỉnh tổng của dãy số” có trong chương trình số học 6 có rất nhiều trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh , cấp huyện , trên 1
2. cuộc thi giải toán trên mạng internet . Song khi gặp các bài toán này không ít khó khăn phức tạp . Từ thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 tôi thấy học sinh hay bế tắc, lúng túng và thường vướng mắc không giải quyết được những bài toán dạng này. Từ những thuận lợi, khó khăn và yêu cầu thực tiễn giảng dạy tôi viết sáng kiến kinh nghiệm : Một số phương pháp tỉnh tổng của dãy số. 2
3. B . GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. CƠ SƠ LÍ LUẬN : Trong thực tế có nhiều bài toán tính tổng của dãy số rất phức tạp. Nhưng nếu chúng ta tìm ra quy luật của nó thì việc tính tổng trở nên thuận lợi và rễ rang hơn Chính vì vậy trong đây tôi đưa ra cho các bạn đọc những dạng toán liên quan tới việc tính tổng của dãy số và các bài toán liên quan nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh tư duy sáng tạo khi học và giải toán; giúp học sinh biết cách định hướng và giải bài tập liên quan ngắn gọn để phát huy trí lực học sinh và làm học sinh tự tin khi giải toán và thi cử. II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Khi tôi được nhà trường phân công dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6 và hướng dẫn học sinh tham gia giải toán trên mạng internet thì tôi đã chọn ra 10 em có học lực khá giỏi trong khối để lập thành đội tuyển học sinh giỏi cho nhà trường. Trong quá trình giảng dạy đội tuyển tôi nhận thấy đội tuyển ôn thi học sinh giỏi của tôi khi gặp những bài toán dạng tỉnh tổng của dãy số thì hầu như các em bế tắc và giải được rất ít. Từ thực tế đó tôi đã cho 10 em học sinh trong đội tuyển của tôi làm một đề toán với dạng tỉnh tổng của dãy số để tôi có thể đánh giá khả năng thực sự của các em với dạng toán trên như thế nào. ĐỀ KIỂM TRA :(120 phút ) Tính tổng 1. A = 1 + 2 + 3 + 4 + + 100 2. A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 3. A= 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 4. A = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 5. A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 6. A = 12 + 32 + 52 + 72 + + 992 7. A = 22 + 42 + 62 + + 1002 8. A = 12 + 22 + 32 + + 992 3
4. 9. A = 12 + 22 + 32 + + 1002 10. A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99 11. A = 2.4 + 4.6 + 6.8 + + 98.100 12. A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 13. A = 1.3.5 + 3.5.7 + + 5.7.9 + + 95.97.99 14. A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + + 99.100 15. A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + + 99.100.101 16. A = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + + 100³ 17. A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + + 99.1002 1 1 1 18. A = 1.2 2.3 99.100 19. A = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + 100.100! 1 2 99 20. A = 2! 3! 100! Kết quả : Điểm dưới 5 Điểm từ 5 - 7 Điểm từ trên 7 - 10 SL SL % SL % SL % 10 7 70 3 30 0 0 Từ kết quả trên và đánh giá bài làm của các em học sinh tôi nhận thấy học sinh chưa có cách tính tổng các dãy số đạt hiệu quả , lời giải dài dòng không chính xác đôi khi còn ngộ nhận và chưa hiểu đề bài . Cũng với những bài toán trên nếu học sinh được trang bị kiến thức về phương pháp “ Tính tổng của dãy số ” thì chắc chắn sẽ cho ta kết quả cao hơn. III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Từ thực trạng của vấn đề trên và cùng với một chút vốn hiểu biết , kinh nghiệm giảng dạy trong một số năm tôi đã hệ thống được một số kiến thức cơ 4
5. bản liên quan, hướng dẫn cho học sinh của tôi phương pháp tính tổng của các dãy số, các bài toán liên quan tính chía hết và sưu tầm tích luỹ một số bài tập phù hợp mức độ nhận thức của học sinh giúp cho học sinh phát triển tư duy, năng lực tốt nhất . 1. Xây dựng các công thức tổng quát 1.1. Tính tổng của dãy số: A = 1 + 2 + 3 + 4 + + 100 Giải A = 100(100 + 1):2 = 5050 * Công thức tổng quát: A = 1 + 2 + 3 + 4 + + n = n(n + 1) : 2 1.2. Tính tổng của dãy số: A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + + 210 Giải 2A = 2 + 22 + 23 + 24 + + 210 + 211 Khi đó 2A – A = A = 211 – 1 *Công thức tổng quát: A = 1 + a + a2 + a3 + a4 + + an Nhân cả hai vế của A với a ta có a.A = a + a2 + a3 + a4 + + an + an+1 aA – A = ( a – 1)A = an+1 – 1. Vậy A = (an + 1 – 1): (a – 1) ; (a ≥ 2) Từ đó ta có công thức : an+1 – 1 = ( a – 1)( 1 + a + a2 + a3 + + an) . * Bài tập vận dụng: Tính tổng. a) A 1 7 7 2 7 3 7 2007 b) B 1 4 4 2 43 4100 c) Chứng minh rằng : 1414 – 1 Chia hết cho 3 d) Chứng minh rằng: 20152015 – 1 Chia hết cho 2014 1.3. Tính tổng của dãy số: A= 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 Giải Vấn đề đặt ra là nhân cả hai vế của A với số nào để khi trừ cho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu ? Ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32. Ta có: 3 2A = 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 + 3102 5
6. A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 32A - A = 3102 - 1 . Hay A( 32 - 1) = 3102 - 1 * Công thức tổng quát: A= 1 + a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n Ta có: a2A = a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n + a2n + 2 A = 1 + a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n a2A - A = a2n+2 - 1 . Hay A( a2 - 1) = a2n +2 - 1 Hay A = (a2n +2 – 1):( a2 - 1) *Bài tập áp dụng: Tính tổng. B = 1 + 22 + 24 + 26 + 28 + 210 + + 2200 1.4. Tính tổng của dãy số: A = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 Giải Tương tự như trên ta có: 72B = 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 + 7101 B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 72B - B = 7101 - 7 , hay B( 72 - 1) = 7101 – 7 * Công thức tổng quát: A= 1 + a3 + a5 + a7 + a9 + + a2n+1 Ta có: a2A = a3 + a5 + a7 + a9 + + a2n+1 + a2n + 3 A = 1 + a3 + a5 + a7 + a9 + + a2n+1 a2A - A = a2n+3 - 1 . Hay A( a2 - 1) = a2n +3 - 1 Hay A = (a2n + 3 – 1):( a2 - 1) *Bài tập áp dụng: tính tổng. C = 5 + 53 + 55 + 57 + 59 + + 5101 D = 13 + 133 + 135 + 137 + 139 + + 1399 1.5. Tính tổng của dãy số: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + + 8.9 Giải Nhận xét : Ở dạng 1.1 chỉ có 1 thừa số trong mỗi số hạng nên ta nhân hai vế của a với 2. Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng dạng này là 1.Nên ta nhân 2 vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được : 3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) 6
7. + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990. A = 990:3 = 330 Ta chú ý tới đáp số 990 = 9.10.11, trong đó 9.10 là số hạng cuối cùng của A và 11 là số tự nhiên kề sau của 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp. *Công thức tổng quát: A = 1.2 + 2.3 + + (n - 1).n = (n - 1).n.(n + 1) : 3 * Bài tập áp dụng: Tính tổng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 B = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99 C = 2.4 + 4.6 + 6.8 + + 98.100 (Gợi ý: Bài B và C khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi số hạng là 2) 1.6. Tính tổng của dãy số: B = 12 + 32 + 52 + 72 + + 992 Giải *Nhận xét: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 A = 0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 A = 1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + + 99.(98 + 100) A = 1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + +99.99.2 = (12 + 32 + 52 + 9 + 92).2 A = (12 + 32 + 52 + + 992).2 Theo cách giải dạng 1.1.5 ta có A = (12 + 32 + 52 + + 992).2 = 99.100.101 :3 Vậy ta có: B = 12 + 32 + 52 + + 992 = 99.100.101 :6 * Công thức tổng quát: A = 12 + 32 + 52 + 72 + + (2n + 1)2 = = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3) : 6 *Bài tập áp dụng. Tính tổng: Q = 112 + 132 + 152 + + 20092. 1.7. Tính tổng của dãy số: B = 22 + 42 + 62 + + 1002 Giải * Nhận xét : A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + + 100.101 = (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + (5.6 + 6.7) + (7.8 + 8.9) + (99.100 + 100.101) 7
8. = 2( 1 + 3) + 4( 3 + 5) + 6( 5 + 7) + + 100( 99 + 101) = 2.4 + 4.8 + 6.12 + + 100.200 = 2.2.2 + 2.4.4 + 2.6.6 + + 2.100.100 = 2.22 + 2.42 + 2.62 + + 2.1002 = 2.( 22 + 42 + 62 + + 1002) A = 2.(22 + 42 + 62 + + 1002) Theo cách giải dạng 1.5 ta có: A = 2.(22 + 42 + 62 + + 1002) = 100.101.102 :3 Vậy ta có : B = 22 + 42 + 62 + + 1002 = 100.101.102 : 6 *Công thức tổng quát : A = 22 + 42 + 62 + + (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2) :6 *Bài tập áp dụng : 1. Tính tổng : 202 + 222 + + 482 + 502. 2. Cho n thuộc N*. Tính tổng : n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + + (n + 100)2. 1.8. Tính tổng của dãy số: A = 12 + 22 + 32 + + 1002 B = 12 + 22 + 32 + + 992 Giải * A = 12 + 22 + 32 + + 1002 Cách 1: A = 12 + 22 + 32 + + 1002 A = (12 + 32 + 52 + + 992) + (22 + 42 + 62 + + 1002) A = (99.100.101 + 100.101.102) : 6 A = 100.101.(99 + 102):6 = 100.101.(2.100 + 1):6 Cách 2: A = 1² + 2² + 3² + 4² + + 100² A = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 + + 100.100 A = 1.(2-1) + 2(3-1) + 3(4-1) + + 100[(100+1)-1] A = 1.2 – 1+ 2.3 – 2 + 3.4 – 3 + 4.5 – 4 + + 100(100 + 1 ) – 100 A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 100( 100 + 1 ) – ( 1 + 2 + 3 +4 + + 100 ) A = 100.101.102:3 – 100.101: 2 =100.101.(102:3 – 1:2) =100.101.(2.100 + 1):6 * B = 12 + 22 + 32 + + 992 Cách 1: B = 12 + 22 + 32 + + 992 B = (12 + 32 + 52 + + 992) + (22 + 42 + 62 + + 982) 8