Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Bùi Thi Thu Hà

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Bùi Thi Thu Hà

1. PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO DUY TIÊN TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ MỘC NAM ĐỀ TÀI “ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ” ÁP DỤNG ĐỐI VỚI HỌC SINH ĐẠI TRÀ LỚP 8 NĂM HỌC : 2018 -2019 Cấp học: Trung học cơ sở Lĩnh vực: Chuyên môn Môn: Toán Người thực hiện: Bùi Thi Thu Hà Chức vụ: Giáo viên Có đính kèm các sản phẩm không thể hiện trong bản in  Mô hình Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh Hiện vật khác Mộc Nam,Ngày 2 tháng 10 năm 2018 1
2. Học sinh đại trà trường THCS Mộc Nam( Khối 8) 1.4. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp điều tra, phân tích tổng hợp, đàm thoại, trò chuyện, thống kê 1.5. Giới hạn phạm vi nghiên cứu Học sinh lớp 8 trường THCS Mộc Nam B. NỘI DUNG I. Cơ sở lí luận : Trong các môn học ở trường, môn Toán ở THCS cũng có vị trí rất quan trọng. Các kiến thức, kỹ năng của môn Toán ở THCS cũng được ứng dụng nhiều trong cuộc sống và là nền tảng cho các lớp trên. Chương trình môn Toán ở lớp 8 là một bộ phận của chương trình môn Toán cấp THCS . Thông qua các hoạt động dạy học Toán giúp học sinh tự nêu các nhận xét hoặc các qui tắc ở dạng khái quát nhất định. Đây là cơ hội phát triển năng lực trừu tượng hoá, khái quát hoá trong học Toán ở giai đoạn lớp 8 ; đồng thời tiếp tục phát triển khả năng diễn đạt của học sinh theo mục tiêu của môn Toán ở THCS . Chương trình này tiếp tục thực hiện những đổi mới về giáo dục Toán cấp THCS . Đến lớp 8 một lớp mà nội dung kiến thức có nhiều điều mới mẻ nâng cao được đưa vào chương trình: Phân tích đa thức thành nhân tử, nhân và chia đa thức, các phép tính trên phân thức. . . Vì thế muốn có được cơ sở để các em học tốt toán 8 và các lớp khác được tốt hơn, kiến thức thu được sâu hơn, chắc hơn thì bắt buộc các em phải cố gắng học Toán. Môn Toán là một môn khô khan và khó học vì nó đòi hỏi người học phải tư duy, trừu tượng, cẩn thận, chăm chỉ . . . mà nhất là hứng thú trong học tập và thực hành Toán. Tuy vậy vẫn có rất nhiều em ham mê, học hỏi, tìm tòi ngay tại lớp, ngay trong từng tiết học. II. Cơ sở thực tiễn : Thực tế qua giảng dạy ở trường THCS tôi nhận thấy bên cạnh số đông học sinh học rất tốt về toán, các em vững kiến thức giải thành thạo các bài toán ở sách giáo khoa, còn giải được các bài toán dạng nâng cao. Nhưng vẫn còn một số em học toán còn chậm, tiếp thu kiến thức còn hạn chế, khi thực hành tính toán còn nhầm lẫn, không chính xác. Khi thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử còn lúng túng, chậm chạp , Cụ thể năm học (2013 – 2014): 3
3. sinh yếu học tốt hơn môn toán khi lên các lớp trên. Vì vậy tôi đã chọn đề tài “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ”. Là một giáo viên đã nhiều năm giảng dạy môn Toán 8, năm học 2018-2019 là năm thứ 13 trực tiếp đứng lớp giảng dạy. Tôi đã có 4 năm giảng dạy môn Toán 6, 3 năm giảng dạy môn Toán 6,7 và năm học 2018-2019 là năm thứ 8 tôi được giảng dạy môn Toán 8 nên cũng có nhiều thuận lợi và khó khăn. a. Thuận lợi : - Thuận lợi: + Được sự quan tam chỉ đạo của ban giám hiêu trường THCS Mộc Nam, sự chi đạo , giúp đỡ của tổ chuyên môn và các đồng chí giao viên trong tổ. + Được giảng dạy theo đúng chuyên ngành được đào tạo. + Đảng ủy, UBND, các bậc phụ huynh quan tâm. + Phong giáo dục thường xuyên mở các lớp đào tạo chuyên môn nghiệp vụ, các buổi sinh hoạt chuyên môn theo cụm + Học sinh yêu thích môn học, gia đình quan tâm b. Khó khăn: + Tư liệu tham khảo trong thư viện trường còn hạn chế + Là 1 giáo viên hợp đồng nên còn gặp nhiều khó khăn trong công việc cũng như cuộc sống và thời gian tâm huyết dành cho ngành. + Một số em không có kiến thức cơ bản về toán học. + Khả năng nắm kiến thức mới của các em còn chậm. + Kỹ năng vận dụng lý thuyết vào bài tập của các em còn hạn chế. + Một số học sinh chưa tích cực chủ động lĩnh hội, chưa tích cực tìm tòi suy nghĩ. + Mô hình trường học mới các em còn chưa quen, ngại trao đổi thảo luận, chủ yếu là làm việc độc lập. III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề Từ những khó khăn cơ bản của học sinh cũng như những yếu tố khách quan khác, tôi đã cố gắng tìm ra những giải pháp khắc phục nhằm đạt được hiệu quả cao trong công tác. Nắm bắt được tình hình học sinh ngại khó khi phân tích đa thức thành nhân tử nên tôi đã đưa ra các dạng bài tập khác nhau để phân loại cho phù hợp với khả năng nhận thức của từng đối tượng. Các bài tập ở dạng từ thấp đến cao để các em nhận thức chậm có thể làm tốt những bài toán ở mức độ trung bình, đồng thời kích thích sự tìm tòi và sáng tạo của những học sinh khá. Bên cạnh đó tôi thường xuyên hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến của các em. Cho học sinh ngoài làm việc cá nhân còn phải tham gia trao đổi nhóm khi đã thực hiện xong hoạt động cá nhân. Tôi yêu cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ động hợp tác, có trách nhiệm với bản thân và tập thể. Mặc dù khả năng nhận thức và suy luận của học sinh trong mỗi lớp chưa đồng bộ nhưng khi phân tích đa thức thành nhân tử tất cần phải nắm vững các hằng đẳng thức và các phương pháp phân tích cơ bản: * Những hằng đẳng thức đáng nhớ. 5
4. I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN 1. Phương pháp đặt nhân tử chung - Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử. - Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác. - Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng). Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. 28a2b2 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab 3b + 2a) 2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y z) – 5y(y z) = (y – z)(2 5y) xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1) 2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. Cần chú ý đến việc vận dụng hằng đẳng thức. Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. 9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2) 8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( 4 + 6ab2 + 9a2b4) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2 2. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử - Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm. - Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức. Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4) 4. Phối hợp nhiều phương pháp Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên. Đặt nhân tử chung. Dùng hằng đẳng thức. Nhóm nhiều hạng tử. Ví dụ 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử VD1: 3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2 VD2 : 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] 7
5. f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = = (x + 2)(3x + 2) e) Cách 5 (nhẩm nghiệm): Xem phần 2. Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c thì ta tách như sau : f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c) Ví dụ 6. Phân tích đa thức f(x) = 4x2 4x 3 thành nhân tử. Hướng dẫn Ta thấy 4x2 4x = (2x)2 2.2x. Từ đó ta cần thêm và bớt 12 = 1 để xuất hiện hằng đẳng thức. Lời giải f(x) = (4x2 – 4x + 1) – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1) Ví dụ 7. Phân tích đa thức f(x) = 9x2 + 12x – 5 thành nhân tử. Lời giải Cách 1 : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – 5 = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(3x + 5) Cách 2 : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – 9 = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5) 2. Đối với đa thức bậc từ 3 trở lên Trước hết, ta chú ý đến một định lí quan trọng sau : Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a thì f(a) = 0. Khi đó, f(x) có một nhân tử là x – a và f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x) Lúc đó tách các số hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa nhân tử là x – a. Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên của đa thức, nếu có, phải là một ước của hệ số tự do. Thật vậy, giả sử đa thức n n 1 n 2 an x an 1x an 2 x a1x a0 víi an ,an 1, ,a1,a0 nguyên, có nghiệm nguyên x = a. Thế thì n n 1 n 2 n 1 n 2 an x an 1x an 2 x a1x a0 (x a)(bn 1x bn 2 x b1x b0 ) , trong đó bn 1,bn 2 , ,b1,b0 là các số nguyên. Hạng tử bậc thấp nhất ở vế phải là – ab0, hạng tử bậc thấp nhất ở vế trái là a0. Do đó – ab0 = a0, suy ra a là ước của a0. Ví dụ 8. Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + 4 thành nhân tử. Lời giải Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + 4 = 0. Đa thức f(x) có một nghiệm x = –2, do đó nó chứa một nhân tử là x + 2. Từ đó, ta tách như sau Cách 1 : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2). Cách 2 : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) 9
6. f(x) 4x3 12x2 x2 3x 6x 18 4x2 (x 3) x(x 3) 6(x 3) = (x – 3)(4x2 – x + 6) n n 1 n 2 Hệ quả 4. Nếu f(x) = an x an 1x an 2 x a1x a0 ( p víi a ,a , ,a ,a là các số nguyên) có nghiệm hữu tỉ x = , trong đó p, q Z n n 1 1 0 q và (p , q)=1, thì p là ước a0, q là ước dương của an . Chứng minh p Ta thấy f(x) có nghiệm x = nên nó có một nhân tử là (qx – p). Vì các hệ q số của f(x) đều nguyên nên f(x) có dạng: f(x) = (qx – p) n 1 n 2 (bn 1x bn 2x b1x b0 ) Đồng nhất hai vế ta được qbn–1 = an , –pb0 = ao. Từ đó suy ra p là ước của a0, còn q là ước dương của an (đpcm). Ví dụ 10. Phân tích đa thức f(x) = 3x3 7x2 + 17x 5 thành nhân tử. Hướng dẫn Các ước của –5 là 1, 5. Thử trực tiếp ta thấy các số này không là 1 5 nghiệm của f(x). Như vậy f(x) không có nghiệm nghuyên. Xét các số , , ta 3 3 1 thấy là nghiệm của đa thức, do đó đa thức có một nhân tử là 3x – 1. Ta phân 3 tích như sau : f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5). 3. Đối với đa thức nhiều biến Ví dụ 11. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 2x2 5xy + 2y2 ; b) x2(y z) + y2(z x) + z2(x y). Hướng dẫn a) Phân tích đa thức này tương tự như phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c. Ta tách hạng tử thứ 2 : 2x2 5xy + 2y2 = (2x2 4xy) (xy 2y2) = 2x(x 2y) y(x 2y) = (x 2y)(2x y) a) Nhận xét z x = (y z) (x y). Vì vậy ta tách hạng tử thứ hai của đa thức : x2(y z) + y2(z x) + z2(x y) = x2(y z) y2(y z) y2(x y) + z2(x y) = (y z)(x2 y2) (x y)(y2 z2) = (y z)(x y)(x + y) (x y)(y z)(y + z) = (x y)(y z)(x z) Chú ý : 11
7. Lưu ý : Các đa thức dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như x7 + x2 + 1, x4 + x5 + 1 đều chứa nhân tử là x2 + x + 1. IV. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp cơ bản. Ví dụ 16. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Lời giải x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng : (y 12)(y + 12) + 128 = y2 16 = (y + 4)(y 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc 4 đối với x thành đa thức bậc 2 đối với y. Ví dụ 17. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = x4 + 6x3 + 7x2 6x + 1. Lời giải A = x4 + 6x3 2x2 + 9x2 6x + 1 = x4 + (6x3 2x2) + (9x2 6x + 1) = x4 + 2x2(3x 1) + (3x 1)2 = (x2 + 3x 1)2. IV. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Ví dụ 18. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 6x3 + 12x2 14x 3 Lời giải Thử với x= 1; 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Như vậy đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải cú dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd = x4 6x3 + 12x2 14x + 3. Đồng nhất các hệ số ta được : ïì a + c = - 6 ï ï ac + b + d = 12 í ï ad + bc = - 14 ï îï bd = 3 13
8. Ví dụ 21. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) (a + b + c)3 a3 b3 c3. b) 8(x + y + z)3 (x + y)3 (y + z)3 (z + x)3. Lời giải a) (a + b + c)3 a3 b3 c3 = [(a + b) + c]3 a3 b3 c3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) a3 b3 c3 = (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) (a + b)(a2 ab + b2) = (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) (a2 ab + b2)] = 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)] = 3(a + b)(b + c)(c + a). b) Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(a + b + c). Đa thức đã cho có dạng : (a + b + c)3 a3 b3 c3 Theo kết quả câu a) ta có : (a + b + c)3 a3 b3 c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Hay 8(x + y + z)3 (x + y)3 (y + z)3 (z + x)3 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y) BÀI TẬP 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) (ab 1)2 + (a + b)2 ; b) x3 + 2x2 + 2x + 1; c) x3 4x2 + 12x 27 ; d) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 ; e) x4 2x3 + 2x 1. 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x2 2x 4y2 4y ; b) x4 + 2x3 4x 4 ; c) x2(1 x2) 4 4x2 ; d) (1 + 2x)(1 2x) x(x + 2)(x 2) ; e) x2 + y2 x2y2 + xy x y. 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) a(b2 + c2 + bc) + b(c2 + a2 + ca) + c(a2 + b2 + ab) ; b) (a + b + c)(ab + bc + ca) abc ; c) c(a + 2b)3 b(2a + b)3. 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) xy(x + y) yz(y + z) + xz(x z) ; b) x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) + 2abc ; c) (x + y)(x2 y2) + (y + z)(y2 z2) + (z + x)(z2 x2) ; d) x3(y z) + y3(z x) + z3(x y) ; 15
9. d) x5 x4 1 ; e) x7 + x5 + 1 ; g) x8 + x4 + 1. 16. a) a6 + a4 + a2b2 + b4 b6 ; b) x3 + 3xy + y3 1. 17. Dùng phương pháp hệ số bất định : a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1 ; b) x4 7x3 + 14x2 7x + 1 ; c) x4 8x + 63 ; d) (x + 1)4 + (x2 + x + 1)2. 18. a) x8 + 14x4 + 1 ; b) x8 + 98x4 + 1. 19. Dùng phương pháp xét giá trị riêng : M = a(b + c a)2 + b(c + a b)2 + c(a + b c)2+(a + b c)(b + c a)(c + a b). 20. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c, tồn tại hai số bằng nhau, nếu : a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b) 21. Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b, c là các số dương thì a = b = c. 22. Chứng minh rằng nếu a 4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd và a, b, c, d là các số dương thì a = b = c = d. 23. Chứng minh rằng nếu m = a + b + c thì : (am + bc)(bm + ac)(cm + ab) = (a + b)2(b + c)2(c + a)2. 24. Cho a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ac + bd = 0. Chứng minh rằng ab + cd = 0. 25. Chứng minh rằng nếu x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) + 2xyz = 0 thì : x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3. Trên đây là một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử của môn toán 8. Mỗi phương pháp có những đặc điểm khác nhau và còn có thể chia thành các dạng nhỏ trong mỗi dạng. Tuy nhiên, ở mỗi phương phápg tôi chỉ lấy một ví dụ điển hình để giới thiệu, hướng dẫn cụ thể cách giải, giúp học sinh có kỹ năng làm bài toán. IV. Hiệu quả khi áp dụng sáng kiến vào thực tiễn - Tôi đã tự tìm ra các phương pháp và thực hiện nghiên cứu đối với học sinh lớp 8A trong năm học 2012 – 2013 và học sinh lớp 8A, 8B trong năm học 2013- 2014, 2015 -2016, lớp 8A năm học 2016 -2017. - Kết quả cụ thể khi tôi kiểm tra phần phân tích đa thức thành nhân tử, tôi cũng đã thực hiện khảo sát đối với học sinh lớp 8 qua các năm tôi dạy kết quả đạt được như sau: Năm học Sĩ số Giỏi Khá T. Bình Yếu Kém Lớp 2012- 2013 8A 37 11/3= 8/37= 16/37= 2/37= 0= 0% 29,7% 21,6% 43,3% 5,4% 2013- 2014 8A 29 9/29=31% 7/29= 13/29= 0% 0% 24,1% 44,9% 17