Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1. Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trịnh Thị Lan . PHẦN I: MỞ ĐẦU A/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ : 1/ Lý do chọn đề tài: Trong chương trình Đại số lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung của chương trình toán, được áp dụng nhiều vào giải các bài tập . Phương pháp này cũng là một công cụ hữu ích cho học sinh trong quá trình luyện tập như : Rút gọn biểu thức, giải phương trình tích, chia đa thức không những vận dụng giải các bài toán ở chương trình lớp 8 mà còn vận dụng giải các bài tập của các lớp 9 ,10 và về sau này. Bản thân tôi là giáo viên giảng dạy môn Toán, qua một số năm dạy tôi thấy học sinh sau khi học vẫn còn lúng túng phân tích đa thức thành nhân tử và thường mắc phải những sai sót khi làm bài tập . Để giúp học sinh tự học, học thêm ở nhà tránh những sai sót và định hướng được một số cách giải khi gặp các dạng toán phải dùng đến việc phân tích đa thức thành nhân tử, do đó tôi chọn viết đề tài: “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” để dạy cho học sinh . Đề tài gồm 3 phần: Phần I là Mở đầu, Phần II là Nội dung và Phần III là Kết quả, bài học kinh nghiệm. Trong phần nội dung đề tài chủ yếu là chỉ ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, trong mỗi phương pháp đều có ví dụ cụ thể, bài tập tự luyện và có hướng dẫn giải bài tập tự luyện. Một số bài tập sử dụng Máy tính bỏ túi để phân tích đa thức thành nhân tử và một số ví dụ nhận định một số sai sót khi làm bài tập và hướng khắc phục cho học sinh. 2/ Thực trạng vấn đề: Thực tế học sinh ở trường THCS Tiến Thành tiếp thu bài còn chậm và vận dụng kiến thức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế. Các em còn nhầm lẫn và chưa thành . Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 1
2. Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trịnh Thị Lan . thạo sử dụng những phương pháp phân tích thành nhân tử, do thời lượng làm bài tập còn ít nên chưa giải được những dạng toán mở rộng, nâng cao . Trong quá trình giải bài tập, đa số học sinh thường mắc các lỗi như : • Đặt nhân tử chung . • Chưa vận dụng thành thạo hằng đẳng thức đáng nhớ vào làm bài tập . • Sử dụng phương pháp nhóm chưa hợp lý. • Chưa biết cách tách hạng tử. • Khi gặp đa thức bậc cao, hệ số lớn thì không tìm ra được cách giải. Nguyên nhân học sinh còn tồn tại các khuyết điểm trên là : + Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gian để ôn tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều . + Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu , một số chỉ học máy móc,hiểu một cách đơn giản chứ chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn trong quá trình làm bài tập . B/ PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI: 1/ Công tác chuẩn bị dạy : - Địa điểm : Trường THCS Tiến Thành . - Giáo trình : SGK, sách bài tập, một số tài liệu tham khảo khác như sách phát triển Toán 8 2/ Đối tượng học : Học sinh lớp 8A3 học chính khóa, ôn tập cuối chương, ngoài ra dạy phụ đạo theo chủ đề bám sát. 3/ Lập kế hoạch tổ chức thực hiện : Ngoài thời gian dạy giờ chính khóa ở trường tôi bố trí lịch học phụ đạo cho học sinh vào chiều thứ 5 và chiều thứ 7 như sau: Ngày Thứ Buổi Nội dung dạy học Số tiết Địa điểm 25/10/07 5 Chiều Phương pháp đặt nhân 4 Trường Tiến tử chung và luyện tập. Thành 27/10/07 7 Chiều Phương pháp dùng 4 ” hằng đẳng thức và luyện tập. . Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 2
3. Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trịnh Thị Lan . 1/11/07 5 Chiều Phương pháp nhóm 4 ” và luyện tập. 3/11/07 7 Chiều Phương pháp tách và 4 ” luyện tập. 5 Chiều Phối hợp các phương 4 ” 8/11/07 pháp trên và luyện tập. 10/11/07 7 Chiều Phương pháp dùng hệ 4 ” số bất định và luyện tập 15/11/07 5 Chiều Phương pháp đổi biến 4 ” số và luyện tập. 17/11/07 7 Chiều Sử dụng Máy tính bỏ 4 ” túi Casio f(x)- 570MS để phân tích đa thức thành nhân tử. 4). Tổ chức thực hiện: - Giáo viên dạy theo lịch . - Học sinh học tập, thực hiện theo nội quy đã quy định . PHẦN II: NỘI DUNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐATHỨC THÀNH NHÂN TỬ Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số ) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. . Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 3
4. Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trịnh Thị Lan . ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG Trong một đa thức nếu các hạng tử có nhân tử giống nhau thì ta có thể đưa ra làm nhân tử chung theo công thức sau : A.B + A.C = A(B + C). a/ Các ví dụ: Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x – 6y. Giải : Ta có : 3x – 6y = 3 .x – 3 .2y = 3 ( x – 2y) . • Nhận xét : Ở đây nhân tử chung là 3 do đó ta có thể đưa ra ngoài làm nhân tử chung theo công thức A.B + A.C = A(B + C) như vậy khi dạy, cần chú ý học sinh xác định được nhân tử chung . Sau ví dụ 1 và nhận xét, giáo viên cho học sinh tiếp tục thực hiện ví dụ 2 Ví dụ2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3(x – y) – 5x(y – x). Giải : Ta có : 3(x – y) – 5x(y – x) = 3(x – y) + 5x (x – y) = (x – y)(3 + 5x) . • Nhận xét : Ở ví dụ 2 đa thức cần phân tích có hai hạng tử là 3(x – y) và – 5x(y – x) nhìn qua ta chưa thấy nhân tử chung. Ta có thể đổi dấu – 5x(y – x) thành 5x (x – y) để xuất hiện nhân tử chung rồi đặt nhân tử chung . Khi dạy học sinh thông qua 2 ví dụ, giáo viên có thể đưa ra thêm ví dụ 3 để rèn luyện cho học sinh được thành thạo về các bước phân tích. Ví dụ3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y). Giải : Ta có : 5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y) = 5(x – 2y)2.x – 5(x – 2y).2y (Nhân tử chung ở đây là 5(x – 2y)) = 5(x – 2y)[x (x – 2y) – 2y] = 5(x – 2y)( x2 – 2xy – 2y) . * Nhận xét : . Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 4
5. Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trịnh Thị Lan . Đối với các ví dụ trên khi sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung giáo viên cần chú ý cho học sinh cách tìm nhân tử chung với đa thức có hệ số nguyên như sau : + Hệ số là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử . + Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi lũy thừa là số mũ nhỏ nhất của nó. b/ Bài tập tự luyện : Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a, 5x – 20y. b, x2 + xy – x. c, 10x(x – y ) – 8y (y – x ). d, 14x2 – 21xy2 + 28x2y2. Bài 2: Tìm x biết x3 + x = 0. Bài 3: Chứng minh rằng n2(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n . c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện: Các bước giải và kết quả như sau: Bài 1: a, 5x – 20y = 5(x – 4y ) . b, x2 + xy – x = x(x + y -1 ) . c, 10x(x – y ) – 8y (y – x ) = 2(x –y ).5x + 2(x – y ).4y = 2(x –y )(5x + 4y). d, 14x2 – 21x y2 + 28x2y2 = 7x.2x – 7x.3y2 + 7x.4xy2 = 7x(2x – 3y2 + 4xy2). Bài 2: Ta có : x3 + x = 0 x(x2 + 1 ) = 0 x = 0 hoặc x2 + 1 = 0 + x = 0 . + x2 + 1 = 0 (vô lý vì x2 0 với x). Vậy x = 0 . Bài 3: Ta có n2(n + 1) + 2n(n + 1) = n .n .(n + 1) + 2n(n +1) = n( n + 1)(n + 2). Khi n Z thì n( n + 1)(n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên 2; 3 mà(2,3) =1 do đó n( n + 1)(n + 2)  6. DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC . Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 5
6. Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trịnh Thị Lan . Các hằng đẳng thức đáng nhớ : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A + B) (A – B)2 A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB + B2) Phương pháp này chủ yếu là vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích, như vậy học sinh phải học thuộc các hằng đẳng thức . a/ Các ví dụ: Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – 6xy + 9y2. Giải : Ta có : x2 – 6xy + 9y2 = x2 – 2.x .3y + (3y)2 = ( x – 3y)2 . • Nhận xét: Ở đây ta đã viết các hạng tử thứ nhất và thứ ba của đa thức dưới dạng một lũy thừa để áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu . Qua ví dụ này học sinh chú ý khi một đa thức có ba hạng tử, trong đó có hai hạng tử được viết dưới dạng một lũy thừa thì ta nghĩ đến hằng đẳng thức bình phương của một hiệu hoặc bình phương của một tổng. Ví dụ2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – 7 . Giải : Ta có : x2 – 7 = x2 – ( 7 )2 = (x – 7 )(x + 7 ). • Nhận xét: Để áp dụng được hằng đẳng thức thì hạng tử thứ hai của đa thức phải được viết dưới dạng một lũy thừa 7 = ( 7 )2.Khi đó hằng đẳng thức sử dụng là hiệu hai bình phương. Ví dụ3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x – y)2 – (y – t)2. Giải : Ta có : (x – y)2 – (y – t)2 = [(x – y ) + (y – t )][(x – y ) – (y – t )] = (x – y + y – t )(x – y – y + t) = (x – t )(x – 2y + t). . Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 6
7. Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trịnh Thị Lan . • Nhận xét : Từ ví dụ trên ta chú ý khi áp dụng hằng đẳng thức A2 – B2 = (A + B)(A – B) nếu B là một đa thức thì khi viết A – B ta phải dùng thêm dấu ngoặc để không sai dấu. b/ Bài tập tự luyện : Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a, x2 – 4y2. b, (3x – y)2 – (x + 2y)2 . c, 8x3 +12x2y + 6xy2 + y3. Bài 2: Tính nhanh a, 1052 – 25 b, 452 + 402 – 152 + 80.45. Bài 3: Rút gọn biểu thức a, ( 3x – 1)2 + 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)2 b, (6x + 1 )2 + (6x -1 )2 – 2(6x + 1 )( 6x - 1 ) c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện: Một số bước giải và kết quả: Bài 1 : a, x2 – 4y2 = x2 – (2y)2 = (x + 2y)(x – 2y). b, (3x – y)2 – (x + 2y)2 = [(3x – y ) + (x + 2y)][(3x – y ) – (x + 2y)] = (3x – y + x + 2y )(3x – y – x – 2y) = (4x + y )(2x – 3y). c, 8x3 +12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3 (2x)2y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3 . Bài 2: a, 1052 – 25 = 1052 – 52 = (105 + 5)(105 – 5) = 110.100 = 11000. b , 452 + 402 – 152 + 80.45 = (452 + 2.40.45 + 402 ) – 152 = (45 + 40)2 – 152 = 852 – 152 = (85 + 15 ) (85– 15) = 100 . 70 = 7000 . Bài 3: a. ( 3x – 1)2 + 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)2 = [(3x –1) + (2x + 1)]2 . Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 7