Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải toán trên máy tính cầm tay bậc THCS

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải toán trên máy tính cầm tay bậc THCS

1. Một số phương pháp giải toán trên máy tính cầm tay bậc THCS I. PHẦN MỞ ĐẦU Như chúng ta đã biết, trong phân phối chương trình của bộ môn toán, các tiết ôn tập chương thường có yêu cầu ôn tập với sự trợ giúp của máy tính cầm tay(MTCT), nhưng chưa hướng dẫn cụ thể việc trợ giúp đó ở mức độ như thế nào, như vậy có thể hiểu việc trợ giúp của MTCT ở đây chỉ là giúp tính toán nhanh kết quả, thay cho tính toán thủ công, chỉ giải các bài toán có sẵn trong chương trình, chưa quan tâm đến các bài toán có thể giải nhanh nhờ sử dụng thuật toán trên MTCT, nhưng trái lại vấn đề chưa quan tâm này lại là yêu cầu cơ bản của các đề thi trong các kì thi giải toán trên MTCT, chính vì vậy khi thực hiện bồi dưỡng cho các đối tượng học sinh dự thi các kì thi giải toán trên MTCT người giáo viên rất lúng túng trong việc định hướng chương trình cho hợp lý đảm bảo theo yêu cầu của kì thi. Còn về vấn đề tài liệu, có thể nói, ta có thể tìm kiếm trên mạng Internet nguồn tài liệu về MTCT là rất nhiều, rất phong phú, nhưng điểm hạn chế là tính phù hợp không cao, chúng ta chưa có tài liệu chính quy nào hướng dẫn việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi về MTCT. Qua thực trạng về dạy học MTCT theo chương trình sách giáo khoa mà tôi đã nêu, người giáo viên trong quá trình giảng dạy chắc chắn chỉ dừng lại ở mức độ hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT tính toán thông thường theo mức độ yêu cầu của sách giáo khoa, chưa quan tâm đến việc hướng dẫn học sinh giải một số bài toán bằng MTCT có dùng những phương pháp và thuật toán để giải nhanh, có thể do hạn chế về thời lượng của các tiết học, cũng có thể do ý thức chủ quan của người giáo viên, chỉ thực hiện theo mức độ yêu cầu, không làm nhiều hơn, như vậy làm sao học sinh có được những kỹ năng cần thiết để giải các bài toán bằng MTCT hợp lý, nhanh chóng. Chẳng hạn, khi dạy và luyện tập về số nguyên tố, nếu người giáo viên giới thiệu thêm cho học sinh về thuật toán kiểm tra số nguyên tố bằng MTCT, thì học sinh có được một kỹ năng rất nhanh để kiểm tra một số có phải là số nguyên tố hay không, kể cả những số rất lớn, và chúng ta cũng thấy rất nhiều trường hợp tương tự như trên trong quá trình giảng dạy. Đứng trước thực trạng về tình hình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán trên MTCT đã nêu, tôi thấy để nâng cao được chất lượng giảng dạy và bồi
2. Một số phương pháp giải toán trên máy tính cầm tay bậc THCS II. NỘI DUNG 1. Thời gian thực hiện: Từ tháng 9 năm 2017 đến tháng 4 năm 2018 2. Đánh giá thực trạng: a) Kết quả đạt được: Như tên của sáng kiến tôi đã nêu“Một số phương pháp giải toán trên MTCT bậc THCS”, đã thể hiện rõ ràng nhiệm vụ cần giải quyết của đề tài. Đối với một số dạng toán đề tài xây dựng phương pháp giải rõ ràng, có cơ sở lý thuyết vững chắc, từ đó nêu ra thuật toán hướng dẫn quy trình ấn phím cụ thể, để người học có thể hiểu sâu, nắm vững, thực hành thành thạo để giải tốt các dạng toán này, tuy nhiên đề tài cũng đề cập đến một số dạng toán chưa phải là dạng toán thường gặp trong các kì thi, nhưng nó mang tính chất là cơ sở về mặt thuật toán để xây dựng phương pháp giải các dạng toán khác, như các bài toán tìm Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, thuật toán kiểm tra số nguyên tố, v.v Trên cơ sở chương trình toán bậc THCS, các dạng toán bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán trên MTCT, các đề thi của các kì thi chọn học sinh giỏi giải toán trên MTCT, tôi tập hợp, phân loại và sắp xếp các dạng toán, tiến hành xây dựng phương pháp và thuật toán để giải, nhằm tạo ra một hệ thống các dạng loại bài tập có tính lôgic, có khoa học, có phương pháp để có thể tiến hành tổ chức giảng dạy, bồi dưỡng cho đối tượng học sinh giỏi tham gia các kì thi giải toán trên MTCT có hiệu quả, có chất lượng. b) Những mặt còn hạn chế: Chúng ta đã biết rằng môn học giải toán trên máy tính cầm tay là môn học mới đối với học sinh THCS mà, vì vậy để học sinh tiếp cận và vận dụng được máy tính cầm tay Casio vào giải Toán thì người thầy không phải cứ hướng dẫn học sinh làm bài tập theo kiểu dạy nhồi nhét, thụ động. Dạy như vậy thì học trò học đâu quên đó, làm bài tập nào biết bài tập đó, giải hết bài này đến bài khác, tốn rất nhiều công sức mà không đọng lại trong đầu học sinh điều gì đáng kể. Ngay cả những học sinh khá giỏi cũng vậy, mới chỉ đầu tư vào giải hết bài toán khó này đến bài toán khó khác mà vẫn chưa phát huy được
3. Một số phương pháp giải toán trên máy tính cầm tay bậc THCS III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: 1. Căn cứ thực hiện: Căn cứ vào chương trình toán bậc THCS từ lớp 6 đến lớp 9, ở tất cả các phân môn, đặc biệt là phân môn số học, các dạng toán bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán trên MTCT, tham khảo các đề thi của các kì thi chọn học sinh giỏi giải toán trên MTCT tôi tập hợp, phân loại và sắp xếp các dạng toán, xây dựng phương pháp và thuật toán để giải, nhằm tạo ra một hệ thống có tính lôgic, có khoa học, có phương pháp để có thể tiến hành tổ chức giảng dạy, bồi dưỡng cho đối tượng học sinh giỏi tham gia các kì thi giải toán trên MTCT có hiệu quả, có chất lượng , đạt kết quả cao, nhằm từng bước nâng cao chất lượng bộ môn toán nói riêng và chất lượng giáo dục toàn diện trong nhà trường THCS nói chung. 2. Nội dung, giải pháp và cách thức thực hiện: a) Nội dung phương pháp: Sáng kiến của tôi tập hợp một số dạng toán mà theo kinh nghiệm tôi thấy rất thường hay có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi giải toán trên MTCT và như vậy nó rất cần phải được trang bị cho học sinh khi bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán MTCT. Khi đề xuất các dạng toán, điểm mà tôi quan tâm nhất là xây dưng phương pháp và thuật toán trên MTCT để giải quyết chúng, nhằm giúp học sinh khắc sâu cách giải. b) Giải pháp thực hiện: 1.1/DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ XỬ LÝ SỐ LỚN: Phương pháp: Đây là những bài toán có chứa những phép tính mà kết quả là số quá lớn dẫn đến tràn bộ nhớ (còn gọi là tràn màn hình). Với các bài toán này ta thường dùng phương pháp chia nhỏ số, đặt ẩn phụ, kết hợp giữa tính trên máy và trên giấy. Sau đây là một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính chính xác kết quả phép nhân sau: A = 7684352 x 4325319 Giải Đặt: a = 7684, b = 352, c = 432, d = 5319
4. Một số phương pháp giải toán trên máy tính cầm tay bậc THCS Ấn: 19841984 ALPHA :R 1756824 =(516920) Kết quả: Số dư trong phép chia trên là: r = 516920 Ví dụ 2: Tìm số dư 2314 : 1293 Giải Quy trình ấn phím trên máy fx -570VN PLUS như sau: Ấn: 2314 ALPHA :R 1293 =(886707) Vậy số dư cần tìm là: r = 886707 Bài tập thực hành: Viết quy trình ấn phím tìm thương và số dư trong phép chia : 19841984 chia cho 2016 (ĐS: Thương là 9842, số dư là: 512) 2/ Số cho quá lớn: (Số cho có số chữ số lớn hơn 10 chữ số) Trường hợp này ta dùng phương pháp như sau: - Cắt nhóm đầu 9 chữ số của số bị chia (tính từ bên trái), tìm số dư của số này với số chia theo thuật toán đã biết. - Viết tiếp sau số dư vừa tìm được các chữ số còn lại của số bị chia tối đa đủ 9 chữ số rồi tìm số dư này với số chia. - Ta tiếp tục quá trình như vậy cho đến hết, số dư lần cuối cùng chính là số dư cần tìm. Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia: 2345678901234 : 4567 Giải - Lần 1: Dùng thuật toán đã biết ta tìm số dư của phép chia 234567890 : 4567, ta được số dư là : 2203 - Lần 2: Ta tìm số dư phép chia 22031234 : 4567, ta được số dư là : 26 Vậy số dư trong phép chia 2345678901234 : 4567 là 26 Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia: 19841985198619871989 : 2017 Giải - Lần 1: Ta tìm số dư phép chia 1984198519 : 2017, ta được số dư là : 990 - Lần 2: Ta tìm số dư phép chia 990861987 : 2017, ta được số dư là :652 - Lần 3: Ta tìm số dư phép chia 6521989 : 2017, ta được số dư là : 1028
5. Một số phương pháp giải toán trên máy tính cầm tay bậc THCS => 22010 = 21995.210.25 ≡ 1.44.32 ≡36 (mod 49) Vậy số dư trong phép chia 22010 cho 49 là 36 Bài tập thực hành: 1/ Tìm số dư trong phép chia: 91999 cho 12(ĐS: Số dư là 9) 2/ Tìm số dư trong phép chia: 2004376 cho 1975(ĐS: Số dư là 246) 1.3/DẠNG 3: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG Phương pháp: Trên cơ sở các phương pháp tìm số dư trong phép chia ta có thể vận dụng để giải bài toán tìm chữ số tận cùng của một số. Để tìm 1, 2, 3, chữ số tận cùng của một số, ta cần tìm số dư trong các phép chia tương ứng của số đó cho 10, 100, 1000, Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của: 2150 Giải Ta cần tìm số dư trong phép chia 2150 cho 10 Ta có: 210  4 (modun 10) => 220  6 (modun 10) => 2140  67  6 (modun 10) => 2140. 210  6.4 ≡ 4(modun 10) => 2150 ≡ 4(modun 10) Vậy chữ số tận cùng của 2150 là 4 Ví dụ 2: Tìm 2 chữ số tận cùng của 19869 Giải Ta có: 19863 ≡ 56 (mod 100) => 19869 = (19863)3 ≡ 563 ≡ 16 (mod 100) Vậy hai chữ số tận cùng của 19869 là 16. Ví dụ 3: Tìm 3 chữ số tận cùng của 2100 Giải
6. Một số phương pháp giải toán trên máy tính cầm tay bậc THCS Vậy BCNN(1984,2016) = 124992 Ví dụ 4: Tìm BCNN của 1975 ; 1890 và 195 Giải ALPHA ÷1975 SHIFT ) ALPHA ÷1890 SHIFT ) 195 = Kết quả : 9705150 Vậy BCLN(1975,1890,195) = 9705150 Ví dụ 5: Tìm BCNN của 1193984 ; 157993 và 38743 Giải Đối với bài toán này khi thực hiện máy tính sẽ báo Math Error, khi đó ta xử lí như sau: 1193984 SHIFT RLC (-) (A) 157993 SHIFT RLC .,,, (B) 38743 SHIFT RLC hyp (C) ALPHA ÷ ALPHA A SHIFT ) ALPHA B ) SHIFT RLC sin (D) ALPHA ÷ ALPHA C SHIFT ) ALPHA D ) = Máy tính hiển thị số : 3.652942438 x 1011 Số dưới dạng lũy thừa chỉ hiển thị của số trong bộ nhớ Ans ta truy xuất số này như sau: x 10 Ans -2 x10 11 = Máy tính hiển thị số 3.652942438x10 x Ans -3 x10 10 = Máy tính hiển thị số 236529424384 Vậy số truy suất là 236529424384 Do đó: BCNN(1193984 ; 157993; 38743) = 236529424384 Bài tập thực hành: 1) Tìm ƯCLN của 2419580247 và 3802197531 (ĐS: 345654321) 2) Tìm BCNN của 24614205 và 10719433 (ĐS: 12380945115) 3) Tìm BNNN của 1985; 2016 và 2017 (ĐS: 8071549920)
7. Một số phương pháp giải toán trên máy tính cầm tay bậc THCS a) 20162016 (ĐS : 25.32.7.73.137) b) 886301824 (ĐS: 27.6924233) 1.6/DẠNG 6: MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG TÍNH TUẦN HOÀN CỦA CÁC SỐ DƯ KHI NÂNG LÊN LŨY THỪA. 1) Tìm chữ số thập phân thứ 2016 sau dấu phẩy của phép chia 85 cho 47 Giải 85 : 47 = 1,(8085106382978723404255319148936170212765957446) Chu kì của số trên có 46 chữ số. Mà 2016 chia 46 dư 38 Vậy chữ số thập phân thứ 2016 sau dấu phẩy là 7 2) Tìm chữ số thập phân thứ 252010 sau dấu phẩy trong phép chia 17 cho 19 Giải 17 :19 = 0,(894736842105263157) Chu kì của số trên có 18 chữ số Mà 252010 chia 18 dư 1(đồng dư cới 1theo mod 18) Vậy chữ số thập phân thứ 252010 sau dấu phẩy là 8 Bài tập thực hành: Tìm chữ số thập phân thứ 32013 sau dấu phẩy trong phép chia 16 cho 23 (ĐS : Chữ số thập phân sau dấu phẩy là :5) 1.7/DẠNG 7: DẠNG TOÁN VỀ LIÊN PHÂN SỐ. Số hữu tỉ dưới dạng liên phân số. Mỗi số hữu tỉ có một biểu diễn duy nhất dưới a dạng liên phân số, nó được viết dưới dạng là: = [a0, a1, an]. b 1 a Vấn đề đặt ra : Hãy biểu diễn liên phân số a về dạng . Dạng toán 0 1 a b 1 1 an 1 an này được gọi là tính giá trị của liên phân số. Với sự trợ giúp của máy tính ta có thể tính một cách nhanh chóng giá trị của phân số đó. Một số ví dụ minh họa:
8. Một số phương pháp giải toán trên máy tính cầm tay bậc THCS 1) Tính:A = 7+ 1 (ĐS: 1037 ) 1 3 142 1 3 1 3 4 329 1 2) Tìm các số tự nhiên a,b biết: (ĐS: a = 7; b = 9) 1 1051 3 1 5 1 a b x x 24 3) Tìm x,biết: 1 (ĐS: x = ) 1 1 1 2 29 1 1 3 4 5 6 1.8/DẠNG 8 : DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, HỆ PHƯƠNG TRÌNH: Chúng ta đã biết cách giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm, hệ phương trình bằng phương pháp thế, phương pháp cộng Nhưng chúng ta biết dùng MTCT thìtìm nghiệm của phương trình, hệ phương trình cho kết quả nhanh hơn, để đối chiếu kết quả bài toán mình giải có đúng hay không. Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình: x2 5x 6 0 Giải Quy trình ấn phím: MODE 5 3 1 = 5= -6= = = Kết quả: x1 1, x2 6 13x 17y 25 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 23x 123y 103 Giải Quy trình ấn phím: MODE 5 1 13 = 17= -25= 23 = -123= 103=
9. Một số phương pháp giải toán trên máy tính cầm tay bậc THCS Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức (x – a) là f(a). *) Hệ quả: f(x) chia hết cho (x – a) f(a) = 0 (Tức a là nghiệm của f(a)) b) MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐA THỨC: Dạng1: Tính giá trị của biểu thức: Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức sau: 2 3 M = 7x y 6xz 2xyz với x = 3,52; y = -9,25; z = 6,12 3xy2 5xz Giải Dùng phép gán: Ấn: 3,52 SHIFT STO A -9,25 SHIFT STO B 6,12 SHIFT STO C Ghi vào màn hình:(7A2B – 6AC3 + 2ABC):(3AB2+5AC) Ấn = , kết quả: M = 15,34204847 5 4 2 Ví dụ 2: Tính A = 3x 2x 3x x 1 khi x = 1,8165 4x3 x2 3x 5 Giải Ấn 1,8165 = để ghi vào biến nhớ Ans. Ghi vào màn hình biểu thức đã cho với vai trò x là biến nhớ Ans, cuối cùng ấn = kết quả: A = 1,49846582. Bài tập thực hành: Tính x4 + 5x3 – 3x2 + x – 1 khi x = 1,35627 (ĐS: 10,6956) Dạng 2: Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức (x - a) hoặc (ax – b) - Khi chia đa thức P(x) cho (x – a) thì dư là r = P(a) b - Khi chia đa thức P(x) cho (ax – b) thì dư là r P a Ví dụ 1: Tìm số dư trong phép chia: x14 x9 x5 x4 x2 x 723 x 1,624
10. Một số phương pháp giải toán trên máy tính cầm tay bậc THCS P(x) + m = (ax + b).Q(x) + (r + m) b Để P(x) + m chia hết cho (ax + b) thì: r + m = 0 m = -r = P a Như vậy bài toán thực chất là bài toán tìm số dư mà ta đã biết. Ví dụ 1: Tìm a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6 Giải Đặt P(x) = x4 + 7x3 + 2x2 + 13x. Khi đó: a = -P(-6) Qui trình ấn máy để tìm P(-6) như sau: - 6 SHIFT STO X Ghi vào màn hình biểu thức: X4 + 7X3 + 2X2 + 13X = , Kết quả: -222 Vậy a = 222 Ví dụ 2: Tìm m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 – 4x + 5 + m chia hết cho Q(x) = 3x + 2 Giải 3 2 Viết lại P(x) = (2x + 3x – 4x + 5) + m = P1(x) + m Để P(x)  Q(x) thì P1(x) + m H(x) P1(x) + m = (3x + 2). H(x) 2 2 P1 +m = 0 m = -P1 3 3 2 Dùng máy tính tính được P1 suy ra m 3 Dùng máy ta tính ra được m và n Bài tập thực hành: Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625. Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3 (ĐS: a = 27,51363298) Dạng 4: Tìm các hệ số của một đa thức Ví dụ: Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = - 9 a) Tính các hệ số b, c, d của P(x) b) Tính P(5) Giải
11. Một số phương pháp giải toán trên máy tính cầm tay bậc THCS ALPHA B SHIFT STO B > lấy u4+ u3 = u5 gán vào B Bây giờ muốn tính un ta một lần và , cứ liên tục như vậy n – 5 lần. Ví dụ: Tính số hạng thứ 12 của dãy Fibonacci. Giải Quy trình ấn phím: Ấn các phím: 1 SHIFT STO A 1 SHIFT STO B Lặp lại các phím: ALPHA A SHIFT STO A ALPHA B SHIFT STO B (7 lần) ta được kết quả: 144 Bài tập thực hành: Tìm số hạng thứ 16 của dãy Fibonacci (ĐS: 987) b) Dãy Lucas: Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = un + un-1(với n 2. a, b là hai số tùy ý nào đó) Nhận xét: Dãy Lucas là dãy tổng quát của dãy Fibonacci, với a = b = 1 thì dãy Lucas trở thành dãy Fibonacci. Quy trình ấn phím: Ấn các phím: b SHIFT STO A > gán u2 = b vào biến nhớ A a SHIFT STO B > lấy u2+ u1 = u3 (u3 = b+a) gán vào B Lặp lại các phím: ALPHA A SHIFT STO A > lấy u3+ u2 = u4 gán vào A ALPHA B SHIFT STO B > lấy u4+ u3 = u5 gán vào B Bây giờ muốn tính un ta một lần và , cứ liên tục như vậy n – 5 lần. Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un + un-1 (n 2). a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính un+1? b) Sử dụng quy trình trên tính u13, u17? Giải a) Quy trình ấn phím: Ấn các phím: 13 SHIFT STO A