Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh chia hết trong tập hợp số nguyên

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh chia hết trong tập hợp số nguyên

1. SKKN: Mét sè ph­¬ng ph¸p chøng minh chia hÕt trong tËp hîp sè nguyªn PhÇn mét – nh÷ng vÊn ®Ò chung I. Lý do chän ®Ò tµi: Trong nhµ tr­êng THCS m«n To¸n lu«n gi÷ mét vÞ trÝ hÕt søc quan träng. Do tÝnh trõu t­îng cao ®é cña to¸n häc vµ tÝnh thùc tiÔn phæ dông, nh÷ng tri thøc vµ kü n¨ng to¸n häc cïng víi nh÷ng ph­¬ng ph¸p lµm viÖc trong to¸n häc trë thµnh c«ng cô ®Ó häc tËp nh÷ng m«n häc kh¸c trong nhµ tr­êng. §ång thêi ngoµi viÖc cung cÊp cho häc sinh nh÷ng kiÕn thøc vµ kü n¨ng to¸n häc cÇn thiÕt, m«n To¸n cßn cã t¸c dông gãp phÇn ph¸t triÓn n¨ng lùc trÝ tuÖ chung cho häc sinh. Tuy nhiªn ®Ó häc tèt m«n To¸n ®ßi hái häc sinh ph¶i cã mét t­ duy l«gic, mét kh¶ n¨ng kh¸i qu¸t cao cïng víi viÖc n¾m ch¾c kiÕn thøc lý thuyÕt, ph­¬ng ph¸p vËn dông kü n¨ng gi¶i to¸n. §èi víi häc sinh cÊp II, kh¶ n¨ng kh¸i qu¸t vµ ph©n lo¹i lý thuyÕt còng nh­ bµi tËp ch­a cao. V× thÕ nÕu häc sinh ®­îc tiÕp cËn víi nh÷ng kiÕn thøc, c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp ®· ®­îc s¾p xÕp mét c¸ch hÖ thèng, theo tõng m¶ng kiÕn thøc sÏ t¹o ra høng thó häc tËp, kÝch thÝch t­ duy s¸ng t¹o cña häc sinh, ®Æc biÖt ®èi víi nh÷ng em häc sinh kh¸, giái. §iÒu nµy phô thuéc rÊt nhiÒu vµo tr×nh ®é, ph­¬ng ph¸p d¹y häc cña ®éi ngò gi¸o viªn. Víi ®éi ngò gi¸o viªn THCS hiÖn nay, hä ®· vµ ®ang ®­îc tiÕp cËn, lµm quen víi ph­¬ng ph¸p d¹y häc míi. Nh­ng viÖc thùc hiÖn nh÷ng ph­¬ng ph¸p d¹y häc míi ®ã b­íc ®Çu còng gÆp kh«ng Ýt khã kh¨n. Mét mÆt lµ do ®éi ngò gi¸o viªn gi¶ng d¹y l©u n¨m ®· quen víi ph­¬ng ph¸p d¹y häc cò nªn hä ng¹i thay ®æi thãi quen trong khi ph­¬ng ph¸p gi¶ng d¹y cò l¹i béc lé nhiÒu h¹n chÕ, mét mÆt lµ do ®éi ngò gi¸o viªn trÎ ch­a cã nhiÒu kinh nghiÖm. ChÝnh nh÷ng yÕu tè ®ã ®· ¶nh h­ëng rÊt nhiÒu tíi viÖc n©ng cao tr×nh ®é d¹y häc phï hîp víi yªu cÇu ®æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc hiÖn nay, ®Æc biÖt lµ trong c«ng t¸c båi d­ìng häc sinh giái. ChÝnh nh÷ng lÝ do trªn ®· th«i thóc t«i nghiªn cøu ®Ò tµi: “Mét sè ph­¬ng Trang: 1
2. ph¸p chøng minh chia hÕt trong tËp hîp sè nguyªn” víi mong muèn gãp phÇn n©ng cao chÊt l­îng d¹y häc m«n to¸n dµnh cho häc sinh kh¸ giái vµ cïng c¸c ®ång nghiÖp trao ®æi häc hái kinh nghiÖm gi¶ng d¹y. RÊt mong sù gãp ý ch©n thµnh cña c¸c ®ång nghiÖm gióp t«i hoµn thiÖn nguyÖn väng båi d­ìng n©ng cao chÊt l­îng häc sinh giái huyÖn nhµ. II. Môc ®Ých, ®èi t­îng, ph¹m vi vµ nhiÖm vô nghiªn cøu. 1. Môc ®Ých: - Th«ng qua c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n nh»m gióp häc sinh hÖ thèng c¸c kiÕn thøc vÒ phÐp chia hÕt trong tËp hîp sè nguyªn qua ®ã cñng cè c¸c kÜ n¨ng gi¶i to¸n vµ nh×n nhËn bµi to¸n d­íi nhiÒu gãc ®é. 2. Kh¸ch thÓ vµ ®èi t­îng nghiªn cøu. 2.1. Kh¸ch thÓ: - Gi¸o viªn gi¶ng d¹y tr­êng THCS - Häc sinh líp 8,9. 2.2. §èi t­îng nghiªn cøu. - Kh¶ n¨ng nhËn thøc cña häc sinh kh¸, giái trong tr­êng THCS. 3. Ph¹m vi nghiªn cøu. - Mét sè d¹ng to¸n c¬ b¶n vÒ phÐp chia hÕt trong ch­¬ng tr×nh to¸n THCS. 4. NhiÖm vô nghiªn cøu. - B»ng viÖc s­u tÇm, ®äc tµi liÖu ®Ó nghiªn cøu vµ ph©n tÝch, tõ ®ã t«i hÖ thèng hãa kiÕn thøc cÇn nhí vµ ph©n lo¹i c¸c d¹ng bµi tËp (bµi tËp mÉu, bµi tËp t­¬ng tù, bµi tËp më réng vµ bµi tËp tù gi¶i). MÆt kh¸c, t×m hiÓu c¸c d¹ng bµi tËp träng t©m th­êng ®­îc ®Ò cËp, t×m hiÓu tr×nh ®é tiÕp thu cña häc sinh còng nh­ ph­¬ng ph¸p d¹y vµ häc ®Ó ®iÒu chØnh néi dung cho phï hîp. Tõ ®ã ¸p dông vµo viÖc båi d­ìng häc sinh giái to¸n líp 8, 9 nh»m ®¹t hiÖu qu¶ cao. - Trang bÞ cho häc sinh kh¸ giái líp 8,9 n¾m v÷ng kiÕn thøc hiÓu s©u kiÕn thøc tù tin tham gia c¸c k× thi häc sinh giái vµ thi vµo c¸c tr­êng chuyªn. - T¹o tiÒn ®Ò cho c¸c em cã kiÕn thøc häc tËp cao h¬n. - Th«ng qua ®Ò tµi häc sinh cã thÓ n¾m mét sè ph­¬ng ph¸p vµ tõ ®ã vËn dông vµo gi¶i bµi to¸n tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p, rÌn kÜ n¨ng nh×n nhËn t×m h­íng gi¶i bµi to¸n tõ ®ã h×nh thµnh phÈm chÊt t­ duy häc sinh. Trang: 2
3. PhÇn hai: Néi dung 1. THÖÏC TRAÏNG: Tröôùc ñaây, tröôøng THCS Minh Laäp laø tröôøng môùi taùi laäp, ñieàu kieän veà cô sôû vaät chaát coøn nhieàu thieáu thoán. Môùi chæ ñuû soá löôïng phoøng hoïc 2 ca, chöa coù phoøng hoïc phuï ñaïo vaø boài döôõng hoïc sinh. Beân caïnh ñoù ñoäi nguõ giaùo vieân treû, khoâng ñoàng ñeàu veà naêng löïc chuyeân moân neân chöa toå chöùc ñoäi nguõ hoïc sinh gioûi ngay töø ñaàu caáp. Thoâng thöôøng caùc em leân lôùp 9 môùi ñöôïc boài döôõng neân thôøi gian khoâng ñuû ñeå cung caáp nhöõng daïng toaùn naâng cao cuûa caû chöông trình toaøn caáp. Vì theá, leân lôùp 9 khi ñöôïc choïn vaøo ñoäi tuyeån toaùn, caùc em khoâng ñuû töï tin daãn tôùi chaát löôïng hoïc sinh gioûi toaùn lôùp 9 chöa cao. Cuï theå trong nhöõng naêm gaàn ñaây khoâng coù hoïc sinh ñaït giaûi huyeän. Trong 2 naêm gaàn ñaây, nhaø tröôøng ñaõ ñöôïc caùc caáp laõnh ñaïo quan taâm kòp thôøi neân cô sôû vaät chaát ñaõ phaàn naøo taïm ñuû cho coâng taùc daïy vaø hoïc, trình ñoä chuyeân moân cuûa giaùo vieân ñaõ ñöôïc naâng cao. Do ñoù coù theå boài döôõng cho hoïc sinh ngay töø ñaàu caáp. Trong naêm hoïc naøy nhaø tröôøng ñaõ toå chöùc daïy phuï ñaïo boài döôõng cho hoïc sinh ngay töø lôùp 6, ñoù laø ñieàu kieän thuaän lôïi ñeå ñöa caùc daïng toaùn naâng cao vaøo daïy ôû lôùp boài döôõng. Sau ñaây laø moät soá daïng toaùn chöùng minh chia heát coù theå aùp duïng vaøo vieäc boài döôõng hoïc sinh. 2. Gi¶I ph¸p. 2.1. lÝ thuyÕt. 1.1. Ñònh lí veà pheùp chia. a, Ñònh lí: - Cho a,b Z vaø b 0, khi chia a cho b luoân coù hai soá nguyeân q,r duy nhaát sao cho a=bq + r vôùi 0 r < |b|, trong ñoù a laø soá bò chia, b laø soá chia, q laø thöông, r laø soâ dö. - Khi chia a cho b , thì soá dö r coù theå laø 0; 1; 2; .; | b| -1. - Ñaëc bieät neáu r = 0 thì a = bq, khi ñoù ta noùi a chia heát cho b (a  b) hay b laø öôùc cuûa a (b | a). Vaäy a  b coù soá nguyeân q sao cho a = bq b, Tính chaát: Trang: 3
4. - Neáu a  b vaø b  c thì a  c - Neáu a  b , a  c vaø (b,c) = 1 thì a  bc - Neáu ab  c vaø (b,c) = 1 thì a  c 1.2. Khaùi nieäm ñoàng dö. a, Ñònh nghóa: Cho soá nguyeân m > 0, neáu hai soá nguyeân a vaø b coù cuøng soá dö khi chia cho m thì ta noùi a ñoàng dö vôùi b theo modum m vaø kí hieäu: a  b (mod m) Vaäy: a  b (mod m) a – b  m Daáu ‘  ’ goïi laø ñoàng dö thöùc. Ví duï: 18  3 (mod 5) vì 18 – 3  5; 8  3 (mod 6) b, Tính chaát. - Coäng tröø theo töøng veá cuûa nhieàu ñoàng dö thöùc theo cuøng moät modun, töùc laø: Neáu a  b (mod m) vaø c  d (mod m) thì a + c  b + d (mod m) vaø a - c  b - d (mod m) - Nhaân töøng veá cuûa nhieàu ñoàng dö thöùc theo cuøng moâ dun töùc laø: Neáu a  b (mod m) vaø c  d (mod m) thì ac  bd (mod m) - Chia töøng veá cuûa moät ñoàng dö thöùc vôùi öôùc chung cuûa noù: a b Neáu a  b (mod m) vaø d ÖC (a,b) thì  (mod m) . d d a b m Ñaëc bieät: d ÖC (a,b,m) thì  (mod ) d d d 1.3. Caùc coâng thöùc bieán ñoåi luõy thöøa: am . an = am+n; am : an = am-n ; (a.b)n = an . bn ; (a:b)n = an : bn (am)n = am.n ; c c ab (a)b 1.4. Ñònh lí Ô le vaø ñònh lí Pheùc ma a) Ñònh lí Ô le: Cho m laø soá töï nhieân khaùc 0, vaø (a,m) = 1 thì a (m) 1(mod m) ii) Neáu m = p ôû ñoù p laø moät soá nguyeân toá vaø laø moät soá töï nhieân khaùc 0 thì: 1 (m) p p 1 p (1 ) p 1 2 3 k ii) Neáu m>1 vaø coù daïng phaân tích nguyeân toá m = p1 .p2 .p3 pk . 1 1 1 thì: (m) m(1 )(1 ) (1 ) p1 p2 pk 1 1 Ví duï: Ta coù (10) 10(1 )(1 ) = 6 vì (7,10) = 1 neân 7 (10) 1(mod10) hay 2 5 76 1(mod10) b) Ñònh lí Pheùc ma: Ñònh lí 1: Cho p laø moät soá nguyeân toá vaø (a,p)=1 thì ap-1 1(mod p) Trang: 4
5. Ví duï: 210  1(mod 11) Ñònh lí 2: (daïng khaùc cuûa ñònh lí pheùc ma) Cho p laø moät soá nguyeân toá vaø a laø moät soá nguyeân tuøy yù, ta coù: a p  a(mod p) 1.5. Caùc daáu hieäu chia heát: n n 1 n 2 a) Ta coù N = anan 1an 2 a1a0 10 an 10 an 1 10 an 2 10a1 a0  a0 (mod10) Do ñoù N  a0 (mod 2); N  a0 (mod5); Vaäy N2 a0 2 a0 0;2;4;6;8; N5 a0 5 a0 0;5 b) Vì 10k 1(mod3);10k 1(mod9) vôùi k N neân: n n 1 n 2 anan 1an 2 a1a0 10 an 10 an 1 10 an 2 10a1 a0  an an 1 an 2 a1 a0 (mod3) vaø anan 1an 2 a1a0  an an 1 an 2 a1 a0 (mod9) Vaäy N3 an an 1 an 2 a1 a0 3 ; N9 an an 1 an 2 a1 a0 9 n n-1 2 c) Ta coù: anan 1an 2 a1a0 =10 an + 10 an-1 + + 10 a2 + a1a0  a1a0 (mod100) Do ñoù N  a1a0 (mod 4); N  a1a0 (mod 25); Vaäy N4 a1a0 4; N25 a1a0 25; d) Töông töï N  a2a1a0 (mod1000) neân N8 a2a1a0 8; N125 a2a1a0 125; e) Daáu hieäu chia heát cho 11: n n 1 n 2 N = anan 1an 2 a1a0 10 an 10 an 1 10 an 2 10a1 a0 Ta coù: 10  1(mod11) 10k  ( 1)k (mod11) vôùi k = 0,1,2 , ,n n Do ñoù: N  a0 a1 a2 ( 1) an  (a0 a2 a4 ) (a1 a3 a5 )(mod11) Vaäy soá chia heát cho 11 khi vaø chæ khi hieäu cuûa toång caùc chöõ soá ôû vò trí chaün vaø toång caùc chöõ soá ôû vò trí leû (tính töø phaûi sang traùi) chia heát cho 11 f) Daáu hieäu chia heát cho 7: a a a a a n 2 n 5 3 Ta coù: n n 1 n 2 1 0 =10 .anan 1an 2 10 .an 5an 4an 3 10 a5a4a3 a2a1a0 Maø 1000  1(mod 7) neân anan 1an 2 a1a0  a2a1a0 a5a4a3 (mod 7) Vaäy soá chia heát cho 7 khi vaø chæ khi toång ñan daáu cuûa boä ba chöõ soá tính töø phía beân phaûi cuûa soá naøy chia heát cho 7. Ví duï: 494949 7 vì 949 – 494 = 4557 1.6. Bieåu dieãn moät soá töï nhieân trong heä thaäp phaân. a) Soá goàm 2 chöõ soá: ab 10a b (vôùi a,b N vaø 1 a 9;0 b 9 ) a) Soá goàm 3 chöõ soá: abc 100a 10b c (vôùi a,b,c N vaø 1 a 9;0 b 9;0 c 9 ) a) Soá goàm 4 chöõ soá: abcd 1000a 100b 10c d 103 a 102 b 10c d (vôùi a,b,c N vaø 1 a 9;0 b 9;0 c 9 ) Trang: 5
6. 2.2. C¸c d¹ng to¸n. D¹ng 1: Sö dông tÝnh chÊt: “Trong n sè nguyªn liªn tiÕp cã mét vµ chØ mét sè chia hÕt cho n víi n 0 ”. Chøng minh: LÊy n sè nguyªn liªn tiÕp chia cho n th× ®­îc n sè d­ kh¸c nhau ®«i mét, trong n sè d­ kh¸c nhau ®«i mét nµy cã duy nhÊt mét sè d­ b»ng 0, tøc lµ cã duy nhÊt mét sè chia hÕt cho n. VÝ dô 1. Chøng minh r»ng: a) TÝch hai sè ch½n liªn tiÕp chia hÕt cho 8. b) TÝch ba sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 6. c) TÝch 5 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 120. Lêi gi¶i: a) Hai sè ch½n liªn tiÕp cã d¹ng 2n vµ 2n +2 (víi n Z) do ®ã tÝch cña chóng lµ 2n(2n + 2) = 4n(n + 1). Mµ n vµ n+1 lµ hai sè nguyªn liªn tiÕp nªn cã mét sè chia hÕt cho 2 do ®ã n(n + 1)2 nªn 4n(n + 1) 8 . VËy tÝch 2 sè ch½n liªn tiÕp chia hÕt cho 8. b) Ba sè nguyªn liªn tiÕp cã mét sè chia hÕt cho 2 vµ mét sè chia hÕt cho 3, mµ (2,3) = 1 nªn tÝch cña chóng chia hÕt cho 6. c) Ta cã 120 = 3.5.8 Trong 5 sè nguyªn liªn tiÕp cã mét sè chia hÕt cho 3, mét sè chia hÕt cho 5 Mµ trong 5 sè nguyªn liªn tiÕp cã Ýt nhÊt hai sè ch½n liªn tiÕp nªn tÝch chia hÕt cho 8 (c©u a) ThËt vËy 5 sè nguyªn liªn tiÕp cã d¹ng n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4. NÕu n ch½n th× n, n + 2 lµ 2 sè ch½n liªn tiÕp. NÕu n lÎ th× n + 1, n + 3 lµ 2 sè ch½n liªn tiÕp. Mµ (3,5,8) = 1. Nªn tÝch 5 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 120. VÝ dô 2: Chøng minh r»ng víi m,n Z, ta cã: a) n3 + 11n 6 b) mn(m2 - n2) 6 c) n(n+1)(2n + 1) 6 Ph­¬ng ph¸p: BiÕn ®æi ®a thøc vÒ d¹ng tÝch cña c¸c sè nguyªn liªn liÕp råi ¸p dông tÝnh chÊt. Trang: 6