Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trong chương trình toán học THCS

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trong chương trình toán học THCS

1. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trong trương trình toán học THCS PHẦN 1. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài “Toán học - khoa học nghiên cứu về quan hệ số lượng và hình dạng trong thế giới khách quan” (Từ điển Tiếng Việt 1997- NXB Đà Nẵng). “Toán học” là chìa khoá của hầu hết các ngành khoa học, là môn học đầy hấp dẫn song lại khó đối với học sinh nói chung và học sinh THCS nói riêng. Bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong giải toán như: giải phương trình, giải bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, ứng dụng trong hình học Trong quá trình giải bài tập về bất đẳng thức, năng lực tư duy của học sinh được phát triển đa dạng, mạnh mẽ vì cách giải các bài tập này không hoàn toàn có một mẫu quy tắc nhất định như ở các mảng kiến thức khác. Nội dung về bất đẳng thức được chính thức đưa vào từ lớp 8 nhưng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thì không được tập trung vào một chương, mục mà nằm rải rác trong nhiều nội dung kiến thức khác. Tuy nhiên, trong thực tế, quá trình học toán, giải toán, đặc biệt là trong các kỳ thi vào THPT, thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên, lớp chọn, các em học sinh lại gặp rất nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức. Mà để giải các bài tập loại toán này học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức tổng hợp nên các em gặp rất nhiều khó khăn trong việc đi tìm lời giải và không biết nên sử dụng phương pháp nào. Qua một số năm giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 và ôn thi cho học sinh lớp 9. Đồng thời tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp và quá trình nghiên cứu đề tài này những năm gần đây, tôi rút ra được một số kinh nghiệm trong việc dạy dạng toán này. Những năm học trước, tôi đã nghiên cứu đề tài này và tôi nhận thấy vấn đề trên tuy khó nhưng có nhiều ứng dụng hơn nữa kết quả đạt được là khả quan. Chính vì thế, năm học này tôi tiếp tục nghiên cứu và trao đổi cùng đồng nghiệp. Đề tài này tôi tiếp tục bổ sung thêm một số ví dụ và bài tập được lấy ở các kì thi tuyển sinh vào THPT, thi thử vào lớp 10 của một số trường năm học 2018 - 2019. Ngoài ra, tôi cũng xin đưa ra thêm một số ví dụ về ứng dụng của bất đẳng thức trong dạng toán tìm nghiệm nguyên rất hay gặp trong các kì thi học sinh giỏi, thi vào 10 mà ở các năm học trước tôi chưa đề cập tới được. Trang 133
2. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trong trương trình toán học THCS PHẦN 2. NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở lý luận Các em học sinh đã thường gặp các bài toán chứng minh bất đẳng thức ngay từ các lớp dưới. Mặc dù chưa được chính thức làm quen với khái niệm bất đẳng thức nhưng từ bậc Tiểu học, học sinh đã được làm quen với dạng bài tập về bất đẳng thức như tìm x biết a < x < b (với a, b là 2 số nào đó). Lên lớp 6, 7 các bài toán về bất đẳng thức chủ yếu được cho dưới dạng so sánh phân số. Đến lớp 8 các em được học nhiều dạng chứng minh bất đẳng thức hơn nhưng các bài toán này vẫn ở mức độ đơn giản. Lên lớp 9, các em tiếp tục được gặp các dạng toán trên nhưng mở rộng hơn và khó hơn. Đặc biệt là khi các em tham gia vào các kì thi chọn học sinh giỏi, thi vào lớp 10, thi vào lớp chọn, thì dạng toán chứng minh bất đẳng thức lại càng hay gặp. Đây là loại toán khá phức tạp, vì vậy việc giúp các em nắm được một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức là rất quan trọng. 2. Cơ sở thực tiễn Khi chưa dạy cho các em các phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số, các em rất lúng túng khi giải dạng toán này. Thông thường, các em phải mò mẫm cách giải, cách giải còn thiếu sự suy luận logic. Chính vì vậy mà việc hướng dẫn các em một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số là rất cần thiết. Do vậy, tôi cố gắng hệ thống lại một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số mà học sinh thường hay gặp. Ngoài ra, tôi đã rút ra được một số sai lầm mà các em hay mắc phải để khắc sâu được phương pháp chứng minh cho các em. Nội dung đề tài gồm 4 chương: Chương I: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số. I. Phương pháp dùng định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức. II. Phương pháp biến đổi tương đương. III. Phương pháp làm trội, làm giảm. IV. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đã biết. V. Phương pháp phản chứng. VI. Phương pháp quy nạp toán học. Trang 333
3. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trong trương trình toán học THCS CHƯƠNG I: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ I. Phương pháp dùng định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức 1. Nội dung - Để chứng minh a b ta xét hiệu a - b và chứng tỏ rằng a - b 0. - Để chứng minh a b ta xét hiệu a - b và chứng tỏ rằng a - b 0. 2. Ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh rằng , với a 0, b 0. (BĐT Côsi) Giải: Do a 0, b 0 nên , , Xét hay (đpcm) Đẳng thức (dấu “=”) xảy ra khi và chỉ khi a = b. Ví dụ 2: Chứng minh rằng a 3 + b3 + c3 3abc, với a 0, b 0, c 0. (BĐT Cô si) Giải: Xét a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 - 3a2b - 3ab2 - 3abc = (a + b)3 + c3 - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2 - 3ab] = (a + b + c)[(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2] (vì a 0, b 0, c 0) Chứng tỏ a3 + b3 + c3 3abc II. Phương pháp biến đổi tương đương 1. Nội dung Dùng các phép biến đổi tương đương, biến đổi bất đẳng thức đã cho về thành một bất đẳng thức mới tương đương với bất đẳng thức ban đầu và bất đẳng thức mới đó chứng minh được dễ dàng hơn. Trang 533
4. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trong trương trình toán học THCS Sn = (a1 - a2) + (a2 - a3) + + (an - an-1) = a1 - an-1 + Phương pháp chung để tính tích hữu hạn P n = u1.u2 un là biểu diễn số hạng tổng quát uk về thương của hai số hạng liên tiếp mhau: Khi đó: 2. Ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: với mọi số tự nhiên n > 0. Giải: Với mọi k > 0 ta có: Lần lượt thay k = 2, 3, , n rồi cộng lại ta được: đpcm Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức: với mọi số tự nhiên n > 0. Giải: Với mọi số tự nhiên k > 0, ta có: Trang 733
5. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trong trương trình toán học THCS Ví dụ 2: Cho m2 + n2 = 1 và a2 + b2 = 1. Chứng minh rằng: │am + bn│≤ 1 (1) Giải: Theo đầu bài, m2 + n2 = 1 và a2 + b2 = 1 ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 2 cặp số (a, m) và (b, n) ta có: (am + bn)2 ≤ (a2 + b2)(m2 + n2) = 1 ⇔ │am + bn│≤ 1 (đpcm) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: Ví dụ 3: Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ; Ta có: Tương tự: Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức: V. Phương pháp phản chứng 1. Nội dung Giả sử chứng minh bất đẳng thức nào đó, ta hãy giả sử bất đẳng thức đó không đúng và kết hợp với giả thiết ta suy ra điều vô lý. Khi ấy ta khẳng định Trang 933
6. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trong trương trình toán học THCS a(2 - b)b(2 - c)c(2 - a) >1 Ta lại có: a(2 - a) = 2a - a2 = 1 - (a2 - 2a + 1) = 1 - (a - 1)2 ≤ 1 Tương tự: b(2 - b) ≤ 1 c(2 - c) ≤ 1 Do 0 0 b(2 - b) > 0 c(2 - c) > 0 ⇒ Ta có: a(2 - b)b(2 - c)c(2 - a) ≤ 1 mâu thuẫn với (1) Vậy có ít nhất 1 trong các bất đẳng thức đã cho là sai. VI. Phương pháp quy nạp toán học 1. Nội dung Để chứng minh mệnh đề T(n) với n là số tự nhiên và n ta thực hiện các bước sau: + Chứng minh mệnh đề T(n0) đúng (kiểm tra mệnh đề đúng với n = n0). + Giả sử mệnh đề T(k) đúng với k (giả thiết qui nạp). + Ta cần chứng minh mệnh đề T(k+1) cũng đúng. Khi đó mệnh đề T(n) đúng với mọi n . 2. Ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh: . Với n≥ 2, Giải: + Với n = 2 ta có: luôn đúng. + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, nghĩa là: + Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là: Thật vậy, xét: Trang 1133
7. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trong trương trình toán học THCS 1. Nội dung + Dạng 1: Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác: Với 3 điểm A, B, C bất kỳ ta có: AB + BC ≥ AC Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi B nằm giữa A và C + Dạng 2: Sử dụng công thức tính diện tích (chủ yếu là công thức tính diện tích tam giác): + Ngoài ra còn có thể sử dụng một số kiến thức khác nữa về hình học. 2. Ví dụ Ví dụ 1: Cho a, b là 2 số dương. Chứng minh rằng (BĐT Côsi) Giải: Xét nửa đường tròn đường kính AB = a + b. C ab H b B A a Trên AB lấy điểm H sao cho AH = a, HB = b. Từ H kẻ đường vuông góc với AB, cắt nửa đường tròn tại C. Khi đó ta có: hay Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức sau, với a, b, c, d là các số dương: Giải: Xét tứ giác ABCD có AC ⊥ BD, gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Đặt: C OA = a > 0 ; OB = b > 0 OC = c > 0 ; OD = d > 0 B b Theo định lí Pitago ta có: c Trang 1333 a O d A D
8. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trong trương trình toán học THCS S4 Tương tự, S3= S2= , , Sn= Sn-1= Khi đó ta có: T = S1 + S2 + +Sn = S – Sn = 1 - 0 thì : Giải: Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z , , Khi đó : Ví dụ 2 : Chứng minh rằng ; với mọi số thực x, y ta có bất đẳng thức : Giải: Trang 1533
9. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trong trương trình toán học THCS CHƯƠNG II. NHỮNG SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI KHI CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ 1. Khi sử dụng tích chất của bất dẳng thức cần tránh những sai lầm sau: + Trừ từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều. a > b c > d ⇒ a - c > b - d + Khử mẫu mà chưa biết dấu của chúng. + Bình phương hai vế của bất đẳng thức mà chưa biết hai vế không âm. a > b ⇒ a2 > b2 + Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà chưa biết hai vế cùng dấu. . Chẳng hạn ta có 4 > - 5 nhưng không thể suy ra (Điều này vô lý) Ví dụ: Chứng minh rằng, nếu x ≥ y > 1 thì (1) Lời giải sau là sai: Với x ≥ y > 1 ta có: x ≥ y và . Trừ từng vế ta có: Suy ra: Sai lầm ở đây là học sinh đã trừ từng vế 2 bất đẳng thức cùng chiều. Chú ý, ta chỉ có: a ≥ b c ≤ d ⇒ a - c ≥ b - d Lời giải đúng là: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: (2) Trang 1733
10. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trong trương trình toán học THCS ⇔ 4(a + b)(a2 - ab + b2) ≥ (a + b)(a + b)2 ⇔ 4a2 - 4ab + 4b2 ≥ a2 + 2ab + b2 (vì a + b > 0) ⇔ 3a2 - 6ab + 3b2 ≥ 0 ⇔ 3(a - b)2 ≥ 0 (2) Bất đẳng thức (2) đúng và các phép biến đổi trên đều tương đương nên bất đẳng thức (1) đúng. Sẽ mắc sai lầm trong lời giải nếu ta thay các dấu “⇔” bởi dấu “⇒”. Vì nếu (1) ⇒ (2) mà bất đẳng thức (2) đúng thì chưa thể kết luận được bất đẳng thức (1) đúng hay không? Chú ý: Bất đẳng thức (1) được gọi là tương đương với bất đẳng thức (2) nếu (1) ⇒ (2) và (2) ⇒ (1) Trang 1933
11. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trong trương trình toán học THCS b, Tương tự Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . a, C = b, D = c, E = Giải : a, Áp dụng BĐT : Dấu '' = ''xảy ra khi AB 0 . ⇒ C = Dấu '' = '' xảy ra khi (2x - 3)(1 - 2x) 0 ⇔ Vậy minC = 2 khi b, Tương tự : minD = 9 khi : -3 x 2 c, minE = 4 khi : 2 x 3 2. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình a. Kiến thức : Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phương pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phương trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phương trình . Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn (thoả mãn TXĐ) ⇒ phương trình có nghiệm . Nếu VT > VP hoặc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn . ⇒ phương trình vô nghiệm . b. Các ví dụ : Bài 1: a, Tìm giá trị lớn nhất của L = + b. Giải phương trình : + - x2 + 4x - 6 = 0 (*) Giải : a. Tóm tắt : ( + )2 2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4 ⇔ + 2 ⇒ MaxL = 2 khi x = 2 . b. TXĐ : Trang 2133
12. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trong trương trình toán học THCS ⇒ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = -1 ; y = 1 . - Kiến thức : Biến đổi một phương trình của hệ , sau đó so sánh với phương trình còn lại , lưu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc . Bài 2: Giải hệ phương trình (với x, y, z > 0) Giải : Áp dụng: Nếu a, b > 0 thì : (2) ⇔ ⇔ 6 Mặt khác : vì x, y, z > nên 6 6 Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z , thay vào (1) ta được : x + x2 + x3 = 14 ⇔ (x - 2)(x2 + 3x + 7) = 0 ⇔ x - 2 = 0 ⇔ x = 2 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = y = z = 2 . 4. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức, đòi hỏi học sinh phải linh hoạt và sáng tạo trong khi giải, học sinh phải nắm chắc được các kiến thức về bất đẳng thức thì mới vận dụng được . Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên . Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : = 2 Trang 2333
13. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trong trương trình toán học THCS CHƯƠNG IV: MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ ĐỀ THI Bài 1. Chứng minh rằng: 2a4 + 1 ≥ 2a3 + a2 với mọi a. (Đề thi học sinh giỏi 1979 - 1980) Bài 2. Chứng minh bất đẳng thức: 2 2 2 2 2 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ x1(x2 + x3 + x4+ x5) (Đề thi học sinh giỏi 1985 - 1986) Bài 3. Cho x ≥ 0, y ≥ 0 và x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng: (Đề thi vào lớp 10 chuyên ĐHTH 1995 - 1996) Bài 4. Chứng minh bất đẳng thức: |a + b| 1. Chứng minh bất đẳng thức: (Bất đẳng thức chọn lọc) Bài 10. Cho x ≥ y ≥ 0. Chứng minh rằng: Trang 2533
14. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trong trương trình toán học THCS 2002) Bài 20. Cho 3 số dương a, b, c và ab > c thoả mãn: a3 + b3 = c3 + 1. Chứng minh: a + b > c + 1 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Nguyễn Trãi tỉnh Hải Dương 2004 - 2005) Bài 21. Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh rằng: Bài 22. Cho a + b = 3. Chứng minh rằng . Bài 23. Cho . Chứng minh rằng: Bài 24. Cho . Chứng minh rằng: Bài 25. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: (BĐT Nesbit). Bài 26. Gọi a, b, c, p lần lượt là các cạnh, nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh rằng: (Chuyên Lê Quý Đôn - Bình Định 2005 -2006). Bài 27. Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn . Chứng minh rằng: (x + z)4 + (z + y)4 (x + y)4 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An 2006 - 2007). Bài 28: Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện x + y = 2 Chứng minh x2y2(x2 + y2) ≤ 2 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2006 - 2007). Bài 29: Cho a, b, c dương. Chứng minh rằng: (Đề thi thử tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Nguyễn Huệ năm học 2006 - 2007). Bài 30: Chứng minh rằng với mọi số thực x ta luôn có: (x – 1 )4 + (x – 3)3 + 6(x – 1 )2(x – 3)2 ≥ 8 Trang 2733
15. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số trong trương trình toán học THCS của biểu thức: (Đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2015 – 2016) Bài 39 : Với các số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x + y (Đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2016 – 2017) Bài 40 : Cho các số thực a, b, c thay đổi thỏa mãn a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 1 và ab + bc + ca = 9. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a2 + b2 +c2 (Đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội năm học 2017 – 2018) Trang 2933