Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm dạy phép chia hết trong N

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm dạy phép chia hết trong N

1. Tröôøng THCS Bình Khöông -Ngöôøi thöïc hieän - Nguyeãn Thò Thu Nguyeân I. §Æt vÊn ®Ò Cïng víi sù ph¸t triÓn cña ®Êt n­íc, sù nghiÖp gi¸o dôc còng ®æi míi kh«ng ngõng. C¸c nhµ tr­êng cµng chó träng ®Õn chÊt l­îng toµn diÖn bªn c¹nh sù ®Çu t­ thÝch ®¸ng cho gi¸o dôc. Víi vai trß lµ m«n häc c«ng cô,bé m«n To¸n ®· gãp phÇn t¹o ®iÒu kiÖn cho c¸c em häc tèt c¸c m«n khoa häc tù nhiªn kh¸c. D¹y nh­ thÕ nµo ®Ó häc sinh kh«ng nh÷ng n¾m ch¾c kiÕn thøc c¬ b¶n mét c¸ch cã hÖ thèng mµ ph¶i ®­îc n©ng cao, ph¸t triÓn ®Ó c¸c em cã høng thó, say mª häc tËp lµ mét c©u hái mµ mçi thÇy c« chóng ta lu«n ®Æt ra cho m×nh. §Ó ®¸p øng ®­îc yªu cÇu cña sù nghiÖp gi¸o dôc vµ nhu cÇu häc tËp cña häc sinh. Do vËy trong gi¶ng d¹y chóng ta ph¶i biÕt ch¾t läc néi dung kiÕn thøc, ph¶i ®i tõ dÔ ®Õn khã, tõ cô thÓ ®Õn trõu t­îng vµ ph¸t triÓn thµnh tæng qu¸t gióp häc sinh cã thÓ ph¸t triÓn t­ duy To¸n häc. B¶n th©n t«i trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu ch­¬ng tr×nh líp 6 cò vµ míi t«i nhËn thÊy phÐp chi hÕt lµ mét ®Ò tµi thËt lý thó, phong phó vµ ®a d¹ng kh«ng thÓ thiÕu ë m«n sè häc líp 6. B. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò I. Tr­íc tiªn lµ häc sinh ph¶i n¾m v÷ng ®Þnh nghÜa phÐp chia hÕt, c¸c dÊu hiÖu chia hÕt còng nh­ c¸c tÝnh chÊt vÒ quan hÖ chia hÕt. 1. §Þnh nghÜa: Cho hai sè tù nhiªn a vµ b, trong ®ã b 0, nÕu cã sè tù nhiªn x sao cho b.x = a th× ta nãi a chia hÕt cho b vµ ta cã phÐp chia hÕt a : b = x. 2. C¸c dÊu hiÖu chia hÕt: a. DÊu hiÖu chia hÕt cho 2: Mét sè chia hÕt cho 2 khi vµ chØ khi ch÷ sè tËn cïng cña sè ®ã lµ sè ch½n. b. DÊu hiÖu chia hÕt cho 3(hoÆc 9): - 1 -
2. Tröôøng THCS Bình Khöông -Ngöôøi thöïc hieän - Nguyeãn Thò Thu Nguyeân Mét sè chia hÕt cho 3(hoÆc 9) khi vµ chØ khi tæng c¸c ch÷ sè cña sè ®ã chia hÕt cho 3(hoÆc 9). *Chó ý: Mét sè chia hÕt cho 3(hoÆc 9) d­ bao nhiªu th× tæng c¸c ch÷ sè cña nã chia cho 3(hoÆc 9) còng d­ bÊy nhiªu vµ ng­îc l¹i. c. DÊu hiÖu chia hÕt cho 5: Mét sè chia hÕt cho 5 ch÷ sè cña sè ®ã cã tËn cïng b»ng 0 hoÆc b»ng 5. d. DÊu hiÖu chia hÕt cho 4(hoÆc 25): Mét sè chia hÕt cho 4(hoÆc 25) khi vµ chØ khi hai ch÷ sè tËn cïng cña sè ®ã chia hÕt cho 4(hoÆc 25). e. DÊu hiÖu chia hÕt cho 8(hoÆc 125): Mét sè chia hÕt cho 8(hoÆc 125) khi vµ chØ khi ba ch÷ sè tËn cïng cña sè ®ã chia hÕt cho 8(hoÆc 125). f. DÊu hiÖu chia hÕt cho 11: Mét sè chia hÕt cho 11 khi vµ chØ khi hiÖu gi÷a tæng c¸c ch÷ sè hµng lÎ vµ tæng c¸c ch÷ sè hµng ch½n(tõ tr¸i sang ph¶i) chia hÕt cho 11. 3. TÝnh chÊt cña quan hÖ chia hÕt: + 0 chia hÕt cho b víi b lµ sè tù nhiªn kh¸c 0. + a chia hÕt cho a víi mäi a lµ sè tù nhiªn kh¸c 0. + NÕu a chia hÕt cho b vµ b chia hÕt cho a th× a = b. + NÕu a chia hÕt cho b vµ b chia hÕt cho c th× a chia hÕt cho c. + NÕu a chia hÕt cho b vµ a chia hÕt cho c mµ (b,c) = 1 th× a chia hÕt cho (b.c). + NÕu a.b chia hÕt cho c vµ (b,c) = 1 th× a chia hÕt cho c. + NÕu a chia hÕt cho m th× k.a chia hÕt cho m víi mäi k lµ sè tù nhiªn. +NÕu a chia hÕt cho m, b chia hÕt cho m th× (a b) chia hÕt cho m. + NÕu a chia hÕt cho m, b kh«ng chia hÕt cho m th× (a b) kh«ng chia hÕt cho m. + NÕu a chia hÕt cho m vµ b chia hÕt cho n th× (a.b) chia hÕt cho (m.n). - 2 -
3. Tröôøng THCS Bình Khöông -Ngöôøi thöïc hieän - Nguyeãn Thò Thu Nguyeân + NÕu (a.b) chia hÕt cho m vµ m lµ sè nguyªn tè th× a chia hÕt cho m hoÆc b chia hÕt cho m. + NÕu a chia hÕt cho m th× a n chia hÕt cho m víi n lµ sè tù nhiªn. + NÕu a chia hÕt cho b th× a n chia hÕt cho b n víi n lµ sè tù nhiªn. II. Khi häc sinh ®· n¾m ch¾c c¸c vÊn ®Ò nªu trªn th× gi¸o viªn cã thÓ ®­a ra mét vµi ph­¬ng ph¸p thöôøng dïng ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n chia hÕt: Ph­¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa phÐp chia hÕt. §Ó chøng minh a chia hÕt cho b( b 0) ta biÓu diÔn sè a d­íi d¹ng mét tÝch c¸c thõa sè, trong ®ã cã mét thõa sè b»ng b( hoÆc chia hÕt cho b). VÝ dô 1: Chøng minh r»ng (3n)100 chia hÕt cho 81 víi mäi sè tù nhiªn n. Gi¶i: Ta cã (3n)100 = 31000. n1000 = 34.3996.n1000 = 81.3996.n1000. V× 81 chia hÕt cho 81 nªn 81.3996.n1000 chia hÕt cho 81. (3n)1000 chia hÕt cho 81. Ví dụ 2: Chứng minh rằng : 165 + 215 chia hết cho 33 Giải : Ta có : 165 + 215 = (24)5 + 215 = 220 + 215 = 215(25+1) = 215 . 33 Vì 33 chia hết cho 33 215 . 33 chia hết cho 33 Vậy 165 + 215 chia hết cho 33. Ph­¬ng ph¸p 2: Dùa vµo tÝnh chÊt cña quan hÖ chia hÕt. * Dïng tÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng, hiÖu: - §Ó chøng minh a chia hÕt cho b(b 0) ta biÓu diÔn sè a d­íi d¹ng mét tæng cña nhiÒu sè h¹ng råi chøng minh tÊt c¶ c¸c sè h¹ng ®ã ®eÌu chia hÕt cho b. - §Ó chøng minh a kh«ng chia hÕt cho b ta biÓu diÔn sè a thµnh tæng cña c¸c sè h¹ng råi chøng minh mét sè h¹ng kh«ng chia hÕt cho b cßn tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cßn l¹i ®Òu chia hÕt cho b. - 3 -
4. Tröôøng THCS Bình Khöông -Ngöôøi thöïc hieän - Nguyeãn Thò Thu Nguyeân VÝ dô 3: Khi chia mét sè cho 255 ta ®­îc sè d­ lµ 170. Hái sè ®ã cã chia hÕt cho 85 kh«ng? V× sao? Gi¶i: Gäi sè ®ã lµ a (a lµ sè tù nhiªn). V× a chia cho 255 cã sè d­ lµ 170 nªn a = 255.k + 170 (k lµ sè tù nhiªn). Ta cã: 255 chia hÕt cho 85 nªn 255.k chia hÕt cho 85. 170 chia hÕt cho 85. (255.k + 170) chia hÕt cho 85 (TÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng). Do vËy a chia hÕt cho 85. VÝ dô 4: Chøng minh r»ng tæng cña ba sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 3. Gi¶i: Gäi ba sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ: a, a + 1, a + 2. Tæng cña ba sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2) = (3a + 3) chia hÕt cho 3 (TÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng). Tõ bµi tËp, nµy gi¸o viªn cã thÓ ®­a häc sinh vµo t×nh huèng : Cã ph¶i tæng cña n sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n lu«n chia hÕt cho n hay kh«ng? Qua ®ã gîi trÝ tß mß, ®­a häc sinh vµo t×nh huèng cã vÊn ®Ò cÇn ph¶i gi¶i quyÕt. Sau ®ã gi¸o viªn gîi ý cho häc sinh, ®Ó tr¶ lêi c©u hái nµy, c¸c em cÇn lµm bµi tËp sau: VÝ dô 5: Tæng cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã chia hÕt cho 4 hay kh«ng ? Gi¶i: Gäi 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ a, a + 1, a + 2, a + 3. Tæng cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ: a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = (a + a + a + a) + (1 + 2 + 3) = (4a + 6). Do 4 chia hÕt cho 4 nªn 4a chia hÕt cho 4 mµ 6 kh«ng chia hÕt cho 4 nªn (4a + 6) kh«ng chia hÕt cho 4. Tæng cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng chia hÕt cho 4. Gi¸o viªn chèt l¹i: Tæng cña n sè tù nhiªn liªn tiÕp ch­a ch¾c ®· chia hÕt cho n. * Dïng tÝnh chÊt chia hÕt cña mét tÝch: - 4 -
5. Tröôøng THCS Bình Khöông -Ngöôøi thöïc hieän - Nguyeãn Thò Thu Nguyeân §Ó chøng minh a chia hÕt cho b (b 0) ta cã thÓ chøng minh b»ng mét trong c¸c c¸ch sau: + BiÓu diÔn b = m.n víi (m, n) = 1. Sau ®ã chøng minh a chia hÕt cho m, a chia hÕt cho n. + BiÓu diÔn a = a1.a2 , b = b1.b2 , råi chøng minh a1 chia hÕt cho b1 ; a2 chia hÕt cho b2 . VÝ dô 6: Chøng minh (495a + 1035b) chia hÕt cho 45 víi mäi a , b lµ sè tù nhiªn. Gi¶i: V× 495 chia hÕt cho 9 nªn 1980.a chia hÕt cho 9 víi mäi a. V× 1035 chia hÕt cho 9 nªn 1035.b chia hÕt cho 9 víi mäi b. Nªn: (495a + 1035b) chia hÕt cho 9. Chøng minh t­¬ng tù ta cã: (1980a + 1995b) chia hÕt cho 5 víi mäi a, b. Mµ (9, 5) = 1. (495a + 1035b) chia hÕt cho 45. VÝ dô 7: Chøng minh r»ng tÝch cña hai sè ch½n liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 8. Gi¶i: Gäi hai sè ch½n liªn tiÕp lµ 2n, 2n + 2. TÝch cña hai sè ch½n liªn tiÕp lµ: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1). V× n, n + 1 kh«ng cïng tÝnh ch½n lÎ nªn n.(n + 1) chia hÕt cho 2. Mµ 4 chia hÕt cho 4 nªn 4n.(n + 1) chia hÕt cho (4.2) 4n.(n + 1) chia hÕt cho 8. 2n.(2n + 2) chia hÕt cho 8. Ph­¬ng ph¸p 3: Dïng ®Þnh lý vÒ chia cã d­. §Ó chøng minh n chia hÕt cho p, ta xÐt mäi tr­êng hîp vÒ sè d­ khi chia n cho p. VÝ dô 8: Chøng minh r»ng: a. TÝch cña ba sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 3. b. TÝch cña bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 4. - 5 -
6. Tröôøng THCS Bình Khöông -Ngöôøi thöïc hieän - Nguyeãn Thò Thu Nguyeân Gi¶i: a. Gäi ba sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ n, n +1, n + 2. TÝch cña ba sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ: n.(n + 1).(n + 2). Mét sè tù nhiªn khi chia cho 3 cã thÓ nhËn mét trong c¸c sè d­ 0; 1; 2. - NÕu r = 0 th× n chia hÕt cho 3 n.(n +1).(n +2) chia hÕt cho 3. - NÕu r = 1 thf n = 3k + 1 (k lµ sè tù nhiªn). n + 2 = 3k + 1 + 2 = (3k + 3) chia hÕt cho 3. n.(n + 1).(n + 2) chia hÕt cho 3. - NÕu r = 2 th× n = 3k + 2 (k lµ sè tù nhiªn). n + 1 = 3k + 2 + 1 = (3k +3) chia hÕt cho 3. n.(n +1).(n +2) chia hÕt cho 3. Tãm l¹i: n.(n +1).(n +2) chia hÕt cho 3 víi mäi n lµ sè tù nhiªn. b. Chøng minh t­¬ng tù ta cã n.(n +1).(n +2).(n +3) chia hÕt cho 4 víi mäi n lµ sè tù nhiªn. Sau khi gi¶i bµi tËp nµy, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh nªu bµi tËp nµy ë d¹ng tæng qu¸t. Gi¸o viªn kh¾c s©u cho häc sinh: TÝch cña n sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho n. III. Khi häc sinh ®· n¾m v÷ng c¸c ph­¬ng ph¸p th­êng dïng ®Ó chøng minh chia hÕt, gi¸o viªn cã thÓ ra mét sè bµi to¸n vÒ chia hÕt nh»m gióp häc sinh n¾m mét c¸ch cã hÖ thèng, ®­îc ®µo s©u c¸c kiÕn thøc vÒ phÐp chia hÕt. Bµi 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè x, y ®Ó cã sè 34x5y chia hÕt cho 36. Gi¶i: V× (4, 9) = 1 nªn 34x5y chia hÕt cho 36 34x5y chia hÕt cho 9 vµ 34x5y chia hÕt cho 4. Ta cã: 34x5y chia hÕt cho 4 5y chia hÕt cho 4 y 2 ; 6 . 34x5y chia hÕt cho 9 (3 + 4 + x + 5 + y) chia hÕt cho 9. (9 + 13 + x + y) chia hÕt cho 9. (3 + x + y) chia hÕt cho 9 V× x, y N vµ 0 x; y 9 Nªn x + y thuéc 6 ;15 - 6 -
7. Tröôøng THCS Bình Khöông -Ngöôøi thöïc hieän - Nguyeãn Thò Thu Nguyeân NÕu y = 2 th× x = 4 hoÆc x = 13 ( > 9 - Lo¹i ). NÕu y = 6 th× x = 0 hoÆc x = 9. VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ: 34452; 34056; 34956. Bµi 2: Cho c¸c ch÷ sè 0, a, b. H·y viÕt tÊt c¶ c¸c sè cã ba ch÷ sè t¹o bëi ba sè trªn. Chøng minh r»ng tæng tÊt c¶ c¸c sè ®ã chia hÕt cho 211. Gi¶i: TÊt c¶ c¸c sè cã ba ch÷ sè t¹o bëi ba ch÷ 0, a, b lµ: a0b ; ab0 ; ba0 ; b0a . T æng cña c¸c sè ®ã lµ: a0b ab0 ba0 b0a = 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a = 211a + 211b = 211(a + b) chia hÕt cho 211. Bµi 3: T×m sè tù nhiªn n ®Ó (3n + 14) chia hÕt cho (n + 2). Gi¶i: Ta cã 5n + 14 = 5.(n + 2) + 4. Mµ 5.(n +2) chia hÕt cho (n +2). Do ®ã (5n + 14) chia hÕt cho (n +2) 4 chia hÕt cho (n + 2) (n + 2) lµ ­íc cña 4. (n +2) 1; 2 ; 4 n 0 ; 2. VËy víi n 0; 2 th× (5n + 14) chia hÕt cho (n +2). n 15 Bµi 4: T×m sè tù nhiªn n ®Ó lµ sè tù nhiªn . n 3 n 15 Gi¶i: §Ó lµ sè tù nhiªn th× (n + 15) chia hÕt cho (n + 3). n 3 [(n + 15) - (n + 3)] chia hÕt cho (n + 3). 12 chia hÕt cho (n +3) . (n + 3) lµ ¦(12) = 1; 2; 3; 4; 6; 12. n 0; 1; 3; 9. - 7 -