Sáng kiến kinh nghiệm Một số giải pháp bồi dưỡng kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh Lớp 8

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số giải pháp bồi dưỡng kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh Lớp 8

1. MỤC LỤC Nội dung Trang MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài: 2 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2 3. Đối tượng nghiên cứu 3 4. Đối tượng khảo sát thực nghiệm 3 5. Phương pháp nghiên cứu 3 6. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu 3 NỘI DUNG CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÍ LUẬN 5 CHƯƠNG II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 5 CHƯƠNG III. CÁC GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN 6 3.1. Các giải pháp 6 3.1.1. Dạy ôn tập các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình sách giáo khoa 6 3.1.2. Dạy mới các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử không có trong chương trình sách giáo khoa 10 3.2. Kết quả thực hiện 18 KẾT LUẬN VE KIẾN NGHỊ 1. Kết luận 19 2. Kiến nghị 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 MỞ ĐẦU 1
2. 6.2. Kế hoạch nghiên cứu Xác định vấn đề cần nghiên cứu. Thu thập, nghiên cứu tài liệu. Xây dựng nội dung và kế hoạch nghiên cứu. Áp dụng nội dung nghiên cứu. Trình bày (hoặc tham khảo ý kiến) sản phẩm nghiên cứu. Chia sẽ và nhận ý kiến đóng góp từ đồng nghiệp, thành viên hội đồng bộ môn các cấp. Hoàn thành sản phẩm nghiên cứu lần cuối. NỘI DUNG CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÍ LUẬN 3
3. Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử đa thức sau: G = x7 + x2 + 1 Ở ví dụ này giáo viên định hướng cho học sinh thêm bớt để xuất hiện nhân tử chung là x2 + x + 1 G= x7 – x + x2 + x + 1 ( thêm x, bớt x) = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) ( Nhóm hạng tử) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 ) ( Đặt nhân tử chung) 3 3 2 = x(x - 1)(x + 1) + (x + x + 1 ) ( Dùng hằng đẳng thức) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) ( Dùng hằng đẳng thức) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] ( Đặt nhân tử chung) = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) 3.1.1.2. Bài tập về nhà Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1. 16x3y + 0,25yz3 20. (a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2 2. x4 – 4x3 + 4x2 21. 4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2 3. 2ab2 – a2b – b3 22. a 4 + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2 8. x 2y2 + 1 – x2 – y2 27. xm + 4 + xm + 3 – x – 1 9. x 4 – x2 + 2x – 1 28. (x + y)3 – x3 – y3 10. 3a – 3b + a2 – 2ab + b2 29. (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 3.1.2. Dạy mới các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử không có trong chương trình sách giáo khoa 3.1.2.1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ 3.1.2.1.1. Phương pháp Đặt một biểu thức bằng một ẩn mới để đưa về một đa thức đơn giản hơn rồi phân tích đa thức theo ẩn mới thành nhân tử. Sau đó thay biểu thức ban đầu vào ẩn phụ vừa đặt. Tùy vào đa thức mà cách đặt ẩn phụ có thể dễ hay khó. Có khi nhìn vào đặt được ngay, nhưng có khi phải biến đổi đa thức mới có thể đặt được ẩn phụ. 3.1.2.1.2. Ví dụ minh họa Phân tích thành nhân tử đa thức sau: P = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Đặt x2 + x + 1 = y x2 + x + 2 = y + 1 Khi đó: P = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = (y – 3)(y + 4) Thay y = x2 + x + 1 , ta có: P = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) Đến đây ta phân tích tiếp: Kết quả (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = (x –1)(x + 2)(x2 + x +5). 3.1.2.1.3. Bài tập về nhà: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 5
4. 1) x3 5x2 8x 4 2) x3 2x 3 3) x3 5x2 8x 4 4) x3 7x 6 5) x3 9x2 6x 16 6) 4x3 13x2 9x 18 7) x3 4x2 8x 8 8) x3 6x2 6x 1 9) 6x3 x2 486x 81 10) x3 7x 6 11) x3 3x 2 12) x3 5x2 3x 9 13) x3 8x2 17x 10 14) x3 3x2 6x 4 15) x3 2x 4 16) 2x3 12x2 17x 2 17) x3 x2 4 18) x3 3x2 3x 2 19) x3 9x2 26x 24 20) 2x3 3x2 3x 1 Qua ví dụ trên giáo viên quay lại giải thích cho các em phương pháp tách hạng tử hôm trước sẻ được sử dụng kết hợp với việc tính nghiệm đa thức sẽ hiệu quả hơn. Nếu biết trước nghiệm của đa thức thì sẽ có hướng tách, thêm, bớt hạng tử phù hợp. Đối với những đa thức bậc 2 một biến ta có thể sử dụng phương pháp này nhanh hơn thay vì ngồi mò mẫm nên tách hạng tử nào. Trong khi dạy phương pháp này giáo viên củng hướng dẫn cho các em sử dụng máy tính bỏ túi để tính nghiệm của đa thức bậc 2, bậc 3 một biến thay vì nhẩm để tìm nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ. 3.1.2.3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định 3.1.2.3.1. Phương pháp Đối với những đa thức 1 biến không có nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ thì ta không thể sử dụng phương pháp tìm nghiệm đa thức mà có thể sử dụng phương pháp hệ số bất định. Cụ thể là: Nếu trên một tập hợp số nào đó mà hai đa thức f(x) và g(x) đồng nhất với nhau, tức là ứng với mọi giá trị của biến lấy trên tập hợp số đã cho mà f(x) và g(x) luôn có các giá trị bằng nhau thì hệ số của các hạng tử cùng bậc là bằng nhau. 3.1.2.3.2. Ví dụ minh họa Phân tích thành nhân tử đa thức sau: Q = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 Đa thức Q không có nghiệm nguyên củng không có nghiệm hữu tỉ nên Q phân tích được thành nhân tử phải có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 7
5. A (a b c)(ab bc ca) abc. B a(a 2b)3 b(2a b)3. D (a b)(a2 b2 ) (b c)(b2 c2 ) (c a)(c2 a2 ) E a3 (c b2 ) b3 (a c2 ) c3 (b a2 ) abc(abc 1). G a2b2 (a b) b2c2 (b c) a2c2 (c a). H a4 (b c) b4 (c a) c4 (a b). 3.2. Kết quả thực hiện Qua quá trình nghiên cứu, vận dụng cách bồi dưỡng kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giỏi trong quá trình giảng dạy trên lớp và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 ở trường trung học cơ sở thị trấn Krông Klang đã đạt được một số kết quả như sau: Về phía giáo viên: Nâng cao được trình độ chuyên môn, hiểu sâu về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để từ đó có cách truyền đạt hợp lý các phương pháp cho học sinh. Về phía học sinh: Các em được rèn luyện kỹ năng phân tích thành nhân tử bằng các phương pháp quen thuộc ở sách giáo khoa. Ngoài ra học sinh làm quen và rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp mới. Từ đó tạo được sự đam mê, ham thích môn toán đối với học sinh. Điển hình là qua các kỳ thi học sinh giỏi lớp 8, học sinh làm được đa số các bài phân tích đa thức thành nhân tử và bài tập vận dụng, có nhiều học sinh trường trung học cơ sở thị trấn Krông Klang đạt giải học sinh giỏi cấp huyện lớp 8. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1. Kết luận 9
6. 3. Đỗ Duy Đồng – Dương Đức Kim: 400 bài tập cơ bản và mở rộng Đai số 8 - NXB Đại học quốc gia Hà Nội. 4. Hoàng Kỳ: Đại số sơ cấp và thực hành giải Toán – NXB đại học sư phạm. 5. Nguyễn Vũ Thanh: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Đại số - NXB GD. 6. Vũ Dương Thụy : Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 8 – NXB giáo dục. 7. Phan Văn Đức – Nguyễn Thái Hoà - Nguyễn Thế Thượng – Nguyễn Anh Dũng: Bài tập cơ bản và nâng cao Đại số 8 – NXB Đà Nẵng. 8. Hoàng Ngọc Hưng – Phạm Thị Bạch Ngọc: Bài tập trắc nghiệm và các đề kiểm tra Toán 8 – NXB giáo dục. 11