Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán chia hết trong N

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán chia hết trong N

1. A/ đặt vấn đề - Trong giảng dạy môn Toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, biết khai thác mở rộng kiến thức áp dụng vào giải được nhiều dạng bài tập là điều hết sức quan trọng. Từ đó giáo viên giúp cho học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo sự nhanh nhạy khi giải toán ngay từ khi học môn số học lớp 6. Môn số học lớp 6 là môn học rất quan trọng học sinh nắm được chắc kiến thức số học 6 sẽ có nền móng tốt để học môn đại số 6 qua quá trình giảng dạy tôi thấy vấn đề chia hết trong N rất hay, các dạng bài tập phong phú, đa dạng các bài toán về chia hết còn được vận dụng để giải một số dạn toán khác góp phần rất lớn trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi. Bằng kinh nghiệm giảng dạy của mình kết hợp với sự tìm tòi học hỏi các thầy giáo, cô giáo đồng nghiệp, tôi viết chuyên đề " Một số bài toán chia hết trong N" nhằm giúp học sinh trau dồi tư duy toán học. Dù đã có nhiều cố gắng song chuyên đề có thể còn nhiều thiếu sót, rất mong hội đồng khoa học và đồng nghiệp góp ý kiến cho tôi để trong quá trình giảng dạy sau này tôi sẽ giúp được học sinh của mình nhiều hơn nữa trong lĩnh vực tìm tòi và khám phá môn toán học. * Một số sách tham khảo. 1- Toán nâng cao và các chuyên đề số học 6 tác giả Nguyễn Ngọc Đạm, Vũ Dương Thuỵ. 2-Một số vấn đề phát triển toán 6 tập I, II tác giả Vũ Hữu Bình. 3- Chuyên đề số học, nữ hoàng toán học tác giả Võ Đại Mai. 4- Toán bồi dưỡng lớp 6 tác giả Vũ Hữu Bình. 1
2. B/ nội dung I- cơ sở lý thuyết: Để làm tốt các bài toán về chia hết giáo viên cần phải trang bị cho học sinh nắm chắc một số vấn đề lí thuyết cơ bản sau: 1- Định nghĩa phép chia hết trong N. Cho 2 số tự nhiên a và b ; b 0. Nếu tồn tại q N sao cho a =bq ta nói a chia hết cho b ( hoặc b chia hết cho a. Kí hiệu a: b ( hoặc b/a). 2. Tính chất: a, Tính chất chung: + a   a N* + a  b; b  c a  c (a, b, c N, c 0). + 0  b,  b N*. + a  1  a N. b, Tính chất chia hết của tổng và hiệu. a, b, m N; m 0. + a  m; b  m (a + b)  m; (a - b)  m. a  m, b  m (a + b)  m; (a - b)  m. Hệ quả: (a + b)  m; a  m b  m. c, Tính chất chia hết của tính: + a  m ab  m  b N. a  m; b  n ab  mn (a; b; m; n N; m, n 0). Với các bài toán nâng cao cần vận dụng thêm một số tính chất, giáo viên hướng dẫn học sinh các tính chất sau: 3, Tính chất chia hết có liên quan với các số nguyên tố cùng nhau từng đôi một. a, Sự chia hết của một tích cho 1 số: - Định lí Gao Xơ: Nếu một số chia hết một tích 2 thừa số và nguyên tố cùng nhau với một tỏng hai thừa số đó thì nó phải chia hết thừa số kia. c/ ab và (a, c) = 1 c/b. 2
3. b, Sự chia hết của một số cho một tích: Định lí: Nếu nhiều số nguyên tố cùng nhau đôi một chia hết một số thì tích của chúng cũng chia hết số đó. a / m;b / m;c / m   abc / m a,b b,c c, a 1 c, Sự nguyên tố cùng nhau giữa một số và một tích: (a; b1) = (a; b2) = 1 (a, b1b2) = 1 Hệ quả: Nếu một số nguyên tố chia hết một tích thì nó chia hết cho một thừa số của tích. p / a1.a2.a3   p/a1 hoặc p/a2 hoặc p/a3. p P  4. Các dấu hiệu chia hết: Cho số tự nhiên: M = a1 . an - 1 a2a1a0 (trong đó a0, a1 an -1, an là các chữ số) an 0. a. Dấu hiệu chia hết cho 2: M  2 a0  2 (a0 {0; 2; 4; 6; 8}). b. Dấu hiệu chia hết cho 5. M  5 a0  5 (a0 {0; 5}) Chú ý: Số dư trong phép chia M cho 2 (hoặc 5) bằng số dư trong phép chia a0 cho 2 (hoặc 5). c. Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9. M  3 (hoặc 9) (an + an - 1 + + a2 + a1 + a0)  3 (hoặc 9). Chú ý: Số dư trong phép chia M cho 3 (hoặc 9) bằng số dư trong phép chia (an + an - 1 + + a1 + a0) cho 3 (hoặc 9). d. Dấu hiệu chia hết cho 4; 25; 8; 125. M  4 a1a0 4 M  25 a1a0 25 M  8 a2a1a0 8 M  125 a2a1a0 125 3
4. Chú ý: Số dư trong phép chia số M cho 4 (hoặc 25) cũng chính là số dư trong phép chia a1a0 cho 4 (hoặc 25). - Số dư trong phép chia số M cho 8 (hoặc 125) cũng chính là số dư trong phép chia số a2a1a0 cho 8 (hoặc 125). c. Dấu hiệu chia hết cho 11. - Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi tổng các chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn của số đó có hiệu chia hết cho 11. - Phối hợp các dấu hiệu chia hết ta có thể nêu thêm một số dấu hiệu chia hết trong hệ thập phân như sau: M  6 M  2 và 3. M  30 M  5 và 6. M  12 M  3 và 4. M  36 M  4 và 9. 5. Tính chất chia hết liên quan với BCNN - ƯCLN. a, M  a, M  b M : BCNN (a, b). b, d/a, d/b d/(a, b). Trên cơ sở lý thuyết cơ bản sách giáo khoa và các tính chất mở rộng giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập theo từng dạng và từng phương pháp. II- các dạng bài tập: loại I: tìm số: 1. Dạng 1: Điền chữ số: Phương pháp giải các bài tập dạng này là sử dụng các dấu hiệu chia hết quen thuộc song nếu số chia là hợp số cần phân tích chúng thành tích các số nguyên tố cùng nhau rồi mới dùng các dấu hiệu chia hết. a. 610x  3. b. 610x  3 mà  9. c/ 610xy  2; 3; 5 và 9. Hướng dẫn: a. 610 x  3 (6 + 1 + 0 + x)  3 (7 + x)  3. mà 0 x 9 nên x {2; 5; 8}. b. Dựa vào kết quả câu a/ phải có (7 + x)  3 4
5. mà  9 x {5; 8}. c. 610xy  2 và 5 y = 0. Có số 610x0 610x0  9 (7 + x)  9 mà 7 x + 7 16. 7 + x = 9 x = 2. Ví dụ 2: Tìm x, y để x325y45. Hướng dẫn: (12 + 3x)2 = [3 (4 + x)]2 = 9 (4 + 9)2  9. 1a969 từ đó tìm được a = 2. Thay vào 1 tìm được x = 8. * Bài tập luyện tập: 1. Điền các chữ số thích hợp vào các chữ để. a. 5x793x4 3. b. 123x44y 2; 3; 5 và 9. c. x2001y  36. d. 1x83y  45 e. 40xy  60 g. 156xy  66. h. 4x83y2  36. 2. Thay dấu * bởi các chữ số để các số sau đây 3403*; 555*; 231* a. Chia hết cho 2 (cho 5). b. Chia hết cho cả 2 và 5. 3. Thay dấu * bởi chữ số nào để các số sau đây: 41*, 64*16; 333*; 8*125. a. Chia hết cho 3 (cho 9); chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. b. Chia hết cho cả 3 và 9. 2. Dạng 2: Tìm các số bằng cách ghép các chữ số để được một số thoả mãn điều kiện chia hết. 5
6. Ví dụ 5: Dùng chữ số 9; 0; 5 để ghép thành những số có 3 chữ số (mỗi chữ số chỉ được dùng 1 lần). a. Chia hết cho 5. b. Chia hết cho cả 2 và 5. Hướng dẫn: a. Theo dấu hiệu chia hết cho 5 số cần viết có tận cùng bằng 0 hoặc 5. - Chữ số hàng đơn vị bằng 0 có các số: 950, 590. - Chữ số hàng đơn vị bằng 5 có các số: 905. b. Một số chia hết cho 2 và 5 phải có tận cùng bằng 0 từ đó ghép được các số 950, 590. Ví dụ 7: Dùng 3 trong 4 chữ số 4; 5; 6; 0 để ghép thành những số có 3 chữ số chia hết cho 3. Hướng dẫn: a. 4 và 5  3; 0 và 6  3. Tìm bộ 3 chữ số trong 4 chữ số đã cho có tổng chia hết cho 3. Ta có: 4 + 5 + 6 = 15  3. 4 + 5 + 0 = 9  3. Do đó có số cần tìm được lập từ 2 bộ 3 chữ số (4; 5; 6) và (4; 5; 7). Với 3 chữ số 7; 5; 6 ghép được 6 số. Với 3 chữ số 4; 5; 0 ghép được 4 số. b. Trong các số lập được có bao nhiêu số chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9. Hướng dẫn: Phải chọn 3 chữ số 4l 5; 0 để ghép thành các số có 3 chữ số có tận cùng bằng 0 (vì một số chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9 phải có tận cùng bằng 0 và tổng các chữ số của nó phải chia hết cho 9). Ví dụ 7: Dùng cả 10 chữ số 0 đến 9 viết thành số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 4. Hướng dẫn: Chọn 6 chữ số đầu là 102345 để được số n = 102345abcd với a, b, c, d {6, 7, 8, 9}. 6
7. Để n : 4 thì cd  4 chỉ có 3 cạnh, chọn cd {68; 76; 96} n nhỏ nhất thì chữ số tận cùng của n có thể là 7968; 8976; 7896 số nhỏ nhất 7896. Vậy số n nhỏ nhất bằng: 102345896. Ví dụ 8: Viết số tự nhiên nhỏ nhất tạo bởi k chữ số 3 và chia hết cho 9. Hướng dẫn: Tổng các chữ số của A = 33 3 là 3 k. kc / s3 A  9 3k  9 k  3. Để A nhỏ nhất k nhỏ nhất (k 0). Vậy k = 3. Số cần tìm là 333. * Bài tập luyện tập. 1. Dùng 3 trong 4 chữ số 0; 1; 6; 8 để viết các số có 3 chữ số cho thoả mãn. a. Chia hết cho 3 (cho 9). b. Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. c. Chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9. 2. Tìm số lớn nhất trong các số tự nhiên tạo thành bởi 10 chữ số khác nhau và. a. Chia hết cho 4. b. Chia hết cho 5. c. Chia hết cho 8. d. Chia hết cho 125. 3. Phải viết ít nhất bao nhiêu số 1944 liền nhau để được 1 số chia hết cho 8, chia hết cho 9. 3. Dạng 3: Tìm số theo điều kiện cho trước. Phương pháp giải bài tập loại này dùng các tính chất chia hết liên quan với BCNN của các số hoặc từ mới liên hệ đã cho kết hợp với các tính chất và dấu hiệu chia hết quen thuộc để tìm ra các số thoả mãn đề bài. Ví dụ 9: Hãy viết thêm 3 chữ số vào sau số 579 để được một số chia hết cho cả 5, 7 và 9. Hướng dẫn: 7
8. Giả thiết viết thêm 3 chữ số x, y, z vào sau 579 có số 579xyz  5,7 và 9. 579xyz  BCNN (5, 7, 9) hay 579xyz  315. Ta có 579xyz = 579000 + xyz = 315.1838 + 30 + xyz . (30 + xyz )  315 từ đó tìm được xyz (285; 600; 915). Ví dụ 10: Tìm số x có chữ số tận cùng bằng 2 biết x; 2x; 3x đều là các số có 3 chữ số và 9, chữ số của 3 số đó đều khác nhau và khác 0. Hướng dẫn: Vận dụng tính chất: 1 số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 9. Tổng các chữ số của x; 2x; 3x là: 1 + 2 + 3 + + 9 = 45. Vì 45  9 x + 2x + 3x = 6x  9 x  3. Lại có x tận cùng bằng 2 2x tận cùng là 4 và 3x tận cùng là 6. Đặt 3x = ab6 ab {1; 3; 5; 7; 8; 9}. (Vì các chữ số của 3 số x; 2x; 3x đều khác nhau và khác 0). Do x  3 3x  9 (a + b + 6)  9. a + b = 12 = 5+ 7 = 3 + 9. Xét các trường hợp có x = 192 là số cần tìm. * Bài tập luyện tập: 1. Thêm 3 chữ số vào sau số 523 để được 1 số chia hết chi phí 6; 7; 8 và 9. 2. Tìm sốp có 3 chữ số chia hết cho 45 biết chữ số hàng chục bằng trung bình tổng của 2 chữ số kia. 3. Tìm x; y để 517xy  6.7 và 9. 4. Tìm số có 5 chữ số biết số đó bằng 45 lần tích các chữ số đã cho. 5. Tìm số abcd biết abcd  ab.ab. 8
9. * Trong các bài toán chia hết số chia không phải chỉ là các hằng số, khi số chia là các hằng số, khi số chia là một biểu thức chữa chữ ta có dạng, bài sau: 4. Dạng bài 4: Tìm giá trị của chữ thoả mãn điều kiện 1 biểu thức khác. Với các bài tập loại này phương pháp là tính biểu thức bị cha thành tổng hiệu hoặc tích các biểu thức chia hết cho biểu thức chia và 1 hằng số, từ đó suy ra biểu thức chia ra là ước của hằng số đó. Đôi khi căn cứ vào tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích ta có thể làm xuất hiện hằng số theo phương pháp sau: A  B thì (mA nB)  B (m, n N*). ở đó (mA nB) là 1 hằng số. Ví dụ 11: Tìm n để (n + 4)  (n - 1) (điều kiện n 1). Hướng dẫn: n + 4 = (n - 1) + 5. Do đó (n + 4)  (n - 1) 5  (n - 1). Từ đó tìm được n {2; 6}. ví dụ 12: Tìm n để (2n + 1)  (6 - n) (n N). Hướng dẫn: Điều kiện: 0 n < 6; n N. Vì (2n + 1)  (6 - n) [2 (6 - n) + (2n +1)]  (6 - 1). 13  (6 - n). 6 - n Ư (13) = {1; 13}. Kết hợp điều kiện n = 5. Ví dụ 13: Tìm n N để A = (n + 5) (n + 6)  6n. Hướng dẫn: A = n2 + 11n + 30. = 12n + (n2 - n + 30). A  6 (n2 - n + 30)  6n (n2 - n + 30)  6. n3 n2 - n = n (n - 1)  6 n (n - 1)  3 n 1 3 9