Sáng kiến kinh nghiệm Mối liên hệ giữa các loại hình tứ giác

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Mối liên hệ giữa các loại hình tứ giác

1. MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC LOẠI HÌNH TỨ GIÁC I/MỞ ĐẦU: * Chương I “Tứ giác” ở hình học 8 là chương đặt nền móng đầy đủ cho việc nghiên cứu đa giác trong học hình học phẳng ở chương trình THCS. Nó hoàn thiện kiến thức về tam giác và cơ sở để mở rộng về đa giác nói chung. * Nhiều năm dạy toán THCS tôi nhận thấy HS thường hay lúng túng khi một tứ giác có thêm hoặc bớt đi một điều kiện thì loại hình tứ giác đó thay đổi như thế nào?Do các em chưa nắm chắc mối quan hệ giữa các loại hình tứ giác đó . * Để phần nào giúp HS có cơ sở làm tốt những bài toán chứng minh về tứ giác . Tôi xin đưa ra một số yếu tố về cạnh , góc , đường chéo của tứ giác , vị trí của điểm ,tam giác thay đổi thì sẽ kéo theo loại hình tứ giác đó thay đổi. Làm nền tảng cho HS vẽ hình , dự đoán và chứng minh được tứ giác đó là hình gì.Từ đó HS tính được độ dài cạnh , số đo góc II/KẾT QUẢ: * Để đạt hiệu quả cao khi sử dụng mối liên hệ giữa các loại hình tứ giác . HS phải hiểu chắc hệ thống kiến thức về chương tứ giác . * Các em phải nắm vững những định nghĩa , tính chất , dấu hiệu nhận biết , lưu ý của từng loại hình tứ giác . * Từ đó khi thêm hoặc bớt một điều kiện các em có thể dự đoán ngay loại hình mới và tìm cách để chứng minh . -Có thể dựa vào sơ đồ nhận biết các loại tứ giác -Có thể dựa vào tính chất đối xứng (đối xứng tâm, đối xứng trục của từng loại hình tứ giác) - Nắm chắc hết các phương pháp để chứng minh 1 tứ giác là hình gì ? -Tìm các mối liên hệ của cùng một tiểu mục như : giữa định nghĩa với nhau , tính chất với nhau , dấu hiệu nhận biết với nhau . Để thấy sự giống nhau và khác nhau của từng loại hình tứ giác . Từ đó không nhầm lẫn khi chứng minh hoặc tìm điều kiện để hình này trở thành hình khác . SƠ ĐỒ NHẬN BIẾT CÁC LOẠI TỨ GIÁC 1
2. 3 góc vuông 4 cạnh bằng nhau TỨ GIÁC . Các cạnh đối song song 2 cạnh đối . Các cạnh đối = song song . 2 cạnh đối song song và = . Các cạnh đối = Hình . 2 đường chéo cắt nhau tai . 2góc kề đáy = thang trung điểm mỗi đường . 2đường chéo = Góc vuông 2 cạnh bên song song Hình thang Hình thang vuông cân Hình bình hành 2 cạnh bên . 2cạnh kề = song song . 1góc vuông . 2đường chéo vuông góc 1 góc .2đường chéo = . 1đường chéo là đường vuông phân giác của 1 góc Hình chữ nhật Hình thoi . 2cạnh kề = . 1 góc vuông . 2đường chéo vuông góc . 2 đường chéo = . 1đường chéo là đường phân giác của 1 góc *Tôi xin minh hoạ 1 số trường hợp cụ thể bằng các bài toán sau . Lời giải trình bày gọn , chủ yếu là gợi ý. HS hiểu và làm lại chi tiết hơn . A.LÝ THUYẾT: Để giúp HS nắm đầy đủ các phương pháp chứng minh một tứ giác là hình gì , tôi xin giới thiệu bảng các phương pháp sau : 1-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH THANG CÂN Chứng minh tứ giác là một hình thang có PP1) Hai góc kề một đáy bằng nhau . PP2) Hai đường chéo bằng nhau . PP3) Hai góc đối bù nhau . PP4) Đường nối các trung điểm của hai đáy là trục đối xứng . 2-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH BÌNH HÀNH Chứng minh tứ giác có PP1) Hai cặp cạnh đối song song . PP2) Hai cặp cạnh đối băng nhau từng đôi một . 2
3. PP3) Các cặp góc đối bằng nhau . PP4) Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường . PP5) Một cặp cạnh đối song song và bằng nhau . PP6) Một tâm đối xứng . 3-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH CHỮ NHẬT Chứng minh tứ giác PP1) Là hình bình hành có một góc vuông . PP2) Có bốn góc bằng nhau . PP3) Là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau . PP4) Là hình thang cân có một góc vuông . PP5) Có các đường thẳng qua các trung điểm của mỗi cặp cạnh đối là trục đối xứng của tứ giác 4-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH THOI Chứng minh tứ giác PP1) Là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau . PP2) Có bốn cạnh bằng nhau . PP3) Là hình bình hành có các đường chéo vuông góc . PP4) Có mỗi đường chéo là phân giác của góc có đỉnh thuộc đường chéo đó . PP5) Là hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc có đỉnh thuộc đường chéo ấy . PP6) Có mỗi đường thẳng qua hai đỉnh đối nhau là một trục đối xứng của nó . 5-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH VUÔNG Chứng minh tứ giác PP1) Là hình thoi có một góc vuông . PP2) Là hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau . PP3) Là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau . PP4) Là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc . PP5) Có bốn trục đối xứng là các đường thẳng qua các đỉnh đối nhau , các đường thẳng qua trung điểm các cạnh đối nhau . B.ÁP DỤNG: 1.Phương pháp :Đường chéo của tứ giác cho trước thay đổi dẫn đến tứ giác khác thay đổi loại hình . * Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA. a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành b) Tứ giác ABCD phải thoả điều kiện gì về đường chéo để : MNPQ là hình chữ nhật, hình thoi , hình vuông ? * Giải : A B B B M N M N Q B M M N A C C A A C D N Q P Q P Q P C P a) Vẽ 2 đường chéo AC,BD D D D AC Ta có : MN P AC, MN (tính chất đường trung bình của tam giác ) 2 AC PQ P AC, PQ 2 MN PPQ, MN PQ Vậy MNPQ là hình bình hành . 3
4. b)- MNPQ là hình chữ nhật thì Mˆ = 1v AC  BD - MNPQ là hình thoi thì MN = MQ AC BD - MNPQ là hình vuông thì AC  BD và AC = BD 2.Phương pháp :Vị trí điểm trên cạnh tam giác và tam giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến tứ giác thay đổi loại hình . * ChoVABC ,D là điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song AB và AC. Chúng cắt các cạnh AC , AB theo thứ tự tại E và F . a) Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ? b) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi ? c)NếuVABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì ? Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình vuông ? * Giải : A A A A F E E E F F E F C C B D B D C B D C B D a) Ta có : DE P AF (gt) DF P AE (gt) Vậy AEDF là hình bình hành . b)Vẽ đường chéo AD Để AEDF là hình thoi thì AD là phân giác  Vậy D là giao điểm của phân giác  và BC c) Nếu VABC : Aˆ 1v thì AEDF là hình chữ nhật Để AEDF là hình vuông thì :  = 1v và AD là phân giác 3. Phương pháp : Khi tứ giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến tứ giác khác thay đổi loại hình . * Cho tứ giác ABCD . Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành . b) - Nếu ABCD là hình bình hành thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ? - Nếu ABCD là hình thoi thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ? - Nếu ABCD là hình chữ nhật thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ? - Nếu ABCD là hình vuông thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ? * Giải : A M B M M B A A B A Q M Q N Q N D B N Q D P C D P C P N C a) (Xem bài 1 phần a ) P C b) - Nếu ABCD là hình bình hành thì MNPQ là hình bình hành (tươngD tự phần a) - Nếu ABCD là hình chữ nhật thì : AC = BD MN MQ Vậy MNPQ là hình thoi . - Nếu ABCD là hình thoi thì : AC  BD MN  MQ hay Mˆ = 1v Vậy MNPQ là hình chữ nhật . - Nếu ABCD là hình vuông thì : MN = MQ và Mˆ = 1v 4
5. Vậy MNPQ là hình vuông . 4. Phương pháp :Khi hình thang cho trước thay đổi loại hình và góc dẫn đến tứ giác thay đổi loại hình . * Cho hình thang ABCD ( AB PCD ). Gọi M,N,P,Q là trung điểm các cạnh AB, AC, DC, BD . a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành . b) Nếu ABCD là hình thang cân thì MNPQ là hình gì ? c) Khi MNPQ là hình vuông . Tính các góc của hình thang ABCD. * Giải : K M M B A B A B A M N Q N Q Q N C D D P C P D P C AD a) Ta có : MQ P AD, MQ ( tính chất đường trung bình của tam giác ) 2 AD NP P AD, NP 2 MQ P NP, MQ NP Vậy MNPQ là hình bình hành b) Nếu ABCD là hình thang cân thì AD = BC MQ MN Vậy MNPQ là hình thoi . c) Khi MNPQ là hình vuông thì Mˆ = 1v hay MQ  MN DK  CK nên Cˆ = Dˆ = 450 Do đó Â = Bˆ = 1350 5.Phương pháp :Khi tam giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến các tứ giác thay đổi loại hình . * ChoVABC cân tại A . Gọi M,N,P thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC . Q là điểm đối xứng của P qua N . a) Chứng minh tứ giác PMAQ là hình thang . b) Chứng minh tứ giác APCQ là hình chữ nhật . c)VABC phải thoả mãn điều kiện gì để các tứ giác PMAQ là hình thang cân , APCQ là hình vuông . * Giải : A Q A Q A Q M N M N N C B B P P C B P C a) Ta có : PN P AB (tính chất đường trung bình của tam giác ) hay AM PPQ Vậy PMAQ là hình thang b) Ta có NA = NC (gt) NP = NQ ( tính chất đối xứng) VABC cân tại A nên AP cũng là đường cao , do đó ; AP  BC hay Pˆ = 1v Vậy APCQ là hình chữ nhật . c) - Nếu PMAQ là hình thang cân thì Q = P mà Q = B (góc đối hình bình hành) P = A (góc đối hình thoi ) Do đó : Â = Bˆ Aˆ Bˆ Cˆ Vậy VABC đều 5
6. BC - Nếu APCQ là hình vuông thì AP = PC (= ) 2 Vậy VABC vuông cân tại A 6.Phương pháp :Khi tam giác cho trước thay đổi loại hình và góc giữa 2 trung tuyến thay đổi dẫn đến tứ giác thay đổi loại hình . * ChoVABC . Các đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G . Gọi I,J là trung điểm GB, GC . a) Chứng minh tứ giác EFIJ là hình bình hành . b) VABC phải có điều kiện gì để tứ giác EFIJ là hình chữ nhật ? c) Nếu BE  CF thì tứ giác EFIJ là hình gì ? A * Giải : A A F E F E G G F E G I J l C I J B B C I J B C BC a) Ta có : FE PBC, FE (tính chất đường trung bình của tam giác) 2 BC IJ PBC, IJ 2 FE PIJ, FE IJ Vậy EFIJ là hình bình hành . b) Để EFIJ là hình chữ nhật thì FJ = IE . Do đó BE = CF . Vậy VABC cân tại A c) Nếu BE  CF hay FJ  IE Vậy EFIJ là hình vuông . * BÀI TẬP THAM KHẢO : Tôi xin giới thiệu thêm một số bài toán để HS thử sức và đồng nghiệp hướng dẫn cho các em . Với mục đích tìm thêm nguyên nhân mà tứ giác thay đổi loại hình . Từ đó thấy được mối liên hệ của các loại hình tứ giác thật phong phú đa dạng . 1. ChoVABC , đường trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm AC , D là điểm đối xứng với M qua I . a) Tứ giác AMCD là hình gì ? Vì sao ? b) NếuVABC có Â = 900 thì tứ giác AMCD là hình gì ? Vì sao ? c) Tìm điều kiện của VABC để AMCD là hình vuông ? 2. Cho hình bình hành ABCD . Trên đường chéo BD lấy E,K sao cho BE = DK . a) Chứng minh AKCE là hình bình hành . b) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để AKCE là hình thoi ? 3. Cho hình thoi ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Vẽ đường thẳng qua B và song song AC , vẽ đường thẳng qua C và song song BD . Hai đường đó cắt nhau tại K . a)Tứ giác OBKC là hình gì ? Vì sao ? b) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để OBKC là hình vuông ? 6