Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác yếu tố trung điểm trong bài tập hình

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác yếu tố trung điểm trong bài tập hình

1. Tên đề tài: “Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học” Phần II. Nội dung A. Phương pháp chung Trong đề tài này do khuôn khổ, giới hạn của đề tài tôi chỉ đưa ra một số dạng cơ bản , một số bài tập khó và nâng cao về bài toán có yếu tố trung điểm, ở đây tôi không đưa ra nhiều cách giải mà chỉ minh hoạ chỉ ra đường lối, phương pháp , thói quen thường gặp ở bậc THCS . Đó là khi gặp bài toán có yếu tố trung điểm ta nghĩ ngay đến việc tạo ra đường phụ theo một trong các hướng sau: + Hướng 1: Lấy thêm đoạn thẳng mới để cùng với đoạn đã cho có chung trung điểm từ đó sử dụng tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm ở lớp 7, hoặc tính chất của hình bình hành ở lớp 8. + Hướng 2: Lấy thêm trung điểm thứ hai để tạo ra đường trung bình trong tam giác, trong hình thang, trong tứ giác nếu có nhiều đường trung bình liền nhau càng tốt, từ đó sử dụng các tính chất của các đường trung bình này. + Hướng 3: Nếu trung điểm đó là trung điểm của cạnh huyền của tam giác vuông đăc biệt lại là cạnh huyền chung của nhiều tam giác vuông thì ta kẻ thêm các đường trung tuyến thuộc cạnh huyền này để sử dụng tính chất đường trung tuyến thuộc cạnh huyền trong tam giác vuông. + Hướng 4: Nếu trung điểm đó là trung điểm của dây cung của đường tròn thì ta kẻ ngay đường kính của đường tròn đi qua trung điểm đó để sử dụng tính chất của đường kính đi qua trung điểm của dây cung trong đường tròn. Sau đây tôi xin giới thiệu một số bài toán minh họa cho những kinh nghiệm mà tôi đã có được trong những năm trực tiếp làm nhiệm vụ giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi. Trang1 Người thực hiện: Phạm Quang Thăng – THCS Cao Xuân Huy
2. Tên đề tài: “Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học” B. Một số bài toán quen thuộc trong chương trình. Trong chương trình toán 7 khi nghiên cứu các trường hợp bằng nhau của tam gíac để giúp học sinh nắm vững kỹ năng ,vận dụng thành thạo kiến thức ta giới thiệu cho học sinh các bài toán sau: Bài toán 1: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh còn lại và có độ dài bằng nửa cạnh đó. Ta hướng dẫn cho học sinh sử dụng tính chất của trung điểm bằng cách: Trên tia đối của tia NM lấy điểm P sao cho NP = NM, A M P N B C Khi đó hai đoạn AC và MP có chung trung điểm là N, từ các tính chất trung điểm chung ta có các cặp tam giác (ANM, CNP) và (AMP, MBC) bằng nhau dẫn đến hai đoạn MP, BC song song và bằng nhau từ đó ta có điều cần chứng minh. Sau khi chứng minh xong, ta cũng cho học sinh chứng minh bài toán ngược lại. Qua đó học sinh được hình dung tính chất đường trung bình của tam giác. Cũng như vây ta cho học sinh làm bài toán sau: Bài toán 2: Trong tam giác vuông Chứng minh đường trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Ta cũng hướng dẫn cho học sinh tạo ra trung điểm M là trung điểm chung của hai đoạn BC và AD. Khi đó sử dụng tính chất trung điểm chung ta chứng minh hai tam giác ABC và CDA bằng nhau để có hai đoạn BC và AD bằng nhau, từ đó ta có điều cần chứng minh của bài toán. Trang2 Người thực hiện: Phạm Quang Thăng – THCS Cao Xuân Huy
3. Tên đề tài: “Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học” B D M C A Sau đó ta cũng cho hoc học sinh chứng minh bài toán ngược lại Từ bài toán này ta cho học sinh chứng minh bài toán sau: Bài toán 3: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông có một góc bằng 60° khi và chỉ khi cạnh kề góc đó bằng một nửa cạnh huyền. Để giải bài này ta sử dụng đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AM Từ việc xét tam giác cân MAB khi có góc B bằng 60° suy ra MAB là tam giác đều và ngược lại, từ cạnh AB bằng nửa cạnh BC dẫn đến tam giác MAB đều dẫn đến góc B bằng 60°. Cũng từ bài toán 3 ta lại có bài toán sau: Bài toán 4: Một tam giác có một góc bằng 60° mà hai cạnh kề góc này có một cạnh bằng một nửa cạnh kia thì đó là tam giác vuông. B A C D Ta có thể hướng dẫn cho học sinh làm bài này như sau: Ta lấy điểm D sao cho A là trung điểm của BD xét đặc điểm của tam giác CBD với trung tuyến CA và các quan hệ đã cho ta sẽ có điều cần chứng minh. Hoàn toàn tương tự ta cho học sinh lớp 7 làm các bài toán sau: Bài toán 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến. Chứng minh góc BAM lớn hơn góc CAM khi và chỉ khi cạnh AB bé hơn cạnh AC. Trang3 Người thực hiện: Phạm Quang Thăng – THCS Cao Xuân Huy
4. Tên đề tài: “Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học” Hướng làm: Xét trên hình của bài toán 2, ta thấy: Việc so sánh góc BAM với góc CAM cũng như cạnh AB với cạnh AC ta đi so sánh góc ADC với góc DAC và cạnh CD với cạnh AC của tam gíac ACD ( Sử dụng quan hệ cạnh và góc đối diện trong tam giác). Bài toán 6: Chứng minh rằng: trong một tam giác độ dài đường trung tuyến luôn bé hơn nửa tổng hai cạnh còn lại. Hướng làm: Cũng tương tự trên hình của bài toán 2, sử dụng bất đẳng thức trong tam giác của tam giác ACD ta sẽ có điều cần chứng minh. Đến đây ta khẳng định giá trị to lớn của tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm. Từ việc sử dụng tính chất của hai đoạn thẳng có chung trung điểm ta đã chứng minh tính chất đường trung bình của tam giác, tứ đó ta cũng chứng minh tính chất đường trung bình của hình thang, tính chất “ Đường trung bình của tứ giác”. Bài toán 7: Chứng minh đường trung bình của hình thang song song với cạnh đáy và có độ dài bằng nửa tổng hai đáy. Hướng làm: Xét thêm trung điểm I của đường chẻo AC,Ta có IM,IN là các đường trung bình của các tam giác ADC vầ ABC A B M I N D C Khi đó sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác ta chứng minh được bài toán này. Bài toán 8: Cho tứ giác ABCD có M, N là trung điểm các cạnh AD, BC. Chứng AB CD minh độ dài đoạn MN . 2 Trang4 Người thực hiện: Phạm Quang Thăng – THCS Cao Xuân Huy
5. Tên đề tài: “Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học” Hướng làm: Xét tứ giác ABCD mà có AB song song với CD thí theo tính chất của hình thang ta có MN đúng bằng nửa tổng AB và CD. còn nếu AB không song song với CD, ta cũng lấy I là trung điểm của AC. B A N M I C D Khi đó MI, NI là các đường trung bình của các tam giác ACD và ABD đông thời xet quan hệ ba cạnh của tam giác MNI ta có điều cần chứng minh. Từ các bài toán 7 và bài toán 8 ta cho học sinh làm bài sau: Bài toán 9: Chứng minh rằng: Một tứ giác là hình thang khi và chỉ khi đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối bằng nửa tổng hai cạnh còn lại Cũng với tính chất đường trung bình của tam giác, ta có bài toán sau:. Bài toán 10: Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q. lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành. Việc giải bài toán này không khó với học sinh lớp 8 còn với học sinh lớp 7 ta thay đổi một số tên gọi cho phù hợp thì bài này trở nên khá hấp dẫn, vì với học sinh lớp 7 việc chứng minh bài toán này đã phải sử dụng khá nhiều kiến thức: Tính chất đường trung bình của tam giác, đường thẳng song song, hai đoạn thẳng song song và bằng nhau, hai tam giác bằng nhau, . . . Từ bài toán này học sinh có thêm một tính chất hình học: Các “đường trung bình của tứ giác” gặp nhau tại trung điểm của chúng Cũng từ bài toán 10 ta có bài toán tổng quát hơn sau:. Trang5 Người thực hiện: Phạm Quang Thăng – THCS Cao Xuân Huy
6. Tên đề tài: “Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học” Bài toán 11: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q, E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các đoạn: BC, DA, AB, CD, MA, MB, NB, NC. Chứng minh các đường MN, PQ, EF, GH đồng quy. C. Các bài toán nâng cao và phát triển I. Bài toán chứng minh Bài toán 12: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài các tam giác vuông cân tại A là ABM và ACN. Chứng minh rằng đường thẳng chứa trung tuyến AI của tam giác ABC cũng chứa đường cao của AH của tam giác AMN. Hướng làm: Đây là bài toán khá khó đối với học sinh lớp 7, và bài toán này lại được gặp ở lớp 8, nên ở lớp 7 ta dùng ngôn ngữ sau: Do đã có trung điểm I của BC nên ta nghĩ đến việc tạo ra I là trung điểm chung của hai đoạn, cụ thể là trên tia đối của tia IA lấy điểm D sao cho I là trung điểm của AD. N H M A C B I D Khi đó từ tính chất trung ôiểm chung I của hai đoạn AD , BC ta có được hai đoạn CD và AB song song và bằng nhau từ đó ta có được hai tam giác ACD, MAN bằng nhau, sử dụng các góc bằng nhau của hai tam giác này và tính chất các góc tại đỉnh A ta có được AH vuông góc với MN. Trang6 Người thực hiện: Phạm Quang Thăng – THCS Cao Xuân Huy
7. Tên đề tài: “Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học” Từ bài toán này ta có bài toán sau: Bài toán 13: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACHF, vẽ hình bình hành AEQF, Chứng minh ba đường QA, HB, DC đồng quy. Q F E H A D B P C Hướng làm: Theo bài 12 ta đã có QA vuông góc với BC, ta chỉ cần chứng minh BH vuông góc với QC và CD vuông góc với QB (bằng cách xét cho các tam giác AQC , CBH bằng nhau và các tam giác AQB, BCD bằng nhau) khi đó QA, HB, DC chứa ba đường cao của tam giác QBC nên ba đường QA, HB, DC đồng quy. Tương tự như vậy ta có các bài toán sau: Bài toán 14: Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC,Dựng về phía ngòai các hình vuông ABDE, ACHF có tâm là I, J. Chứng minh tam giác MIJ vuông cân. Hướng làm: Nhìn vào hình vẽ ta thấy hai tam giác AEC và ABF bằng nhau hai đoạn EC, BF bằng nhau và vuông góc với nhau mà MI, MJ là các đường trung bình của hai tam giác BEC và CBF nên ta chứng minh được hai đoạn MI, MJ băng nhau và vuông góc với nhau. Trang7 Người thực hiện: Phạm Quang Thăng – THCS Cao Xuân Huy
8. Tên đề tài: “Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học” F . E A J H I D B M C Từ bài toán này ta có loạt các bài toán sau: Bài toán 15 :Cho hình bình hành ABCD, về phía ngoài hình bình hành các tam giác ABM vuông cân tại M; ACN vuông cân tại N; BDP vuông cân tại P; CDQ vuông cân tại Q. Chứng minh rằng tứ giác NMPQ là hình vuông. N A M C B I Q D P Trang8 Người thực hiện: Phạm Quang Thăng – THCS Cao Xuân Huy
9. Tên đề tài: “Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học” Hướng làm: Từ kết quả bài toán 14 ta có các tam giác IMN, INQ, IQP, IPM đều vuông cân tại I từ đó suy ra tứ giác MNQP là hình vuông. Từ bài toán này ta lại đưa ra bài toán sau: Bài toán 16: Cho hình bình hành ABDC, về phía ngoài hình bình hành các hình vuông ABEF, ACMN, DBPQ, CDKL, Gọi S, G, R, H lần lượt là tâm của các hình vuông trên. Chứng minh rằng tứ giác SGHR là hình vuông. N F A G M S E B C L H P R D K Q Tiếp tục bài toán trên, Nếu tứ giác ABCD không phải là hình bình hành mà là một tứ giác bất kỳ thì liệu tứ giác SGHR có tính chất gì không? Ta có bài toán sau:. Bài toán 17: Cho hình tứ giác ABCD, về phía ngoài tứ giác dựng các hình vuông ABMN, ADEF, DCGH, BCPQ, Gọi V, S, J, K lần lượt là tâm của các hình vuông trên. Chứng minh rằng KS = VJ và KS  VJ. Trang9 Người thực hiện: Phạm Quang Thăng – THCS Cao Xuân Huy