Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác và phát triển một số bài toán số học

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác và phát triển một số bài toán số học

1. Khai thác và phát triển một số bài toán số học phần a - đặt vấn đề i - Lý do chọn đề tài Để thực hiện mục tiêu giáo dục hiện nay, nhằm nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy và học, làm cho kết quả học tập của học sinh ngày càng được nâng cao. Vì vậy nhiệm vụ của thày và trò là phải dạy và học như thế nào để đạt hiệu quả cao nhất. Cùng với các môn học khác, Toán học là môn học chiếm vị trí quan trọng trong trường phổ thông. Dạy Toán tức là dạy phương pháp suy luận, học Toán là rèn luyện khả năng tư duy lôgic. Giải toán luôn là một hoạt động bổ ích và hấp dẫn. Nó giúp các em nắm vững thêm kiến thức, phát triển từng bước năng lực tư duy toán học, hình thành và hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, giúp các em có thể học tốt các môn tự nhiên khác cũng như vận dụng hiệu quả kiến thức toán học vào thực tế đời sống. Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển trí tuệ. Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh ( người học toán ) những kỹ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy lôgic, một phương pháp luận khoa học . Trong việc dạy học Toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng hợp lý các phương pháp dạy học, từ đó góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Đồng thời qua việc học toán học sinh được bồi dưỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập toán. Số học là một bộ phận của Toán học, được học sinh tiếp cận và nghiên cứu một cách có hệ thống ở trường trung học cơ sở. Số học là môn học nói chung là khó, phức tạp đối với học sinh. Do vậy làm thế nào để truyền đạt kiến thức số học một cách có hệ thống, hợp lôgic cho học sinh là vấn đề cần được quan tâm. Là một giáo viên toán chúng ta phải nhận thức rõ tầm quan trọng của 1
2. Khai thác và phát triển một số bài toán số học Toán học nói chung và bộ môn số học nói riêng để sau này có phương pháp giảng dạy tốt, hiệu quả. Việc hướng dẫn học sinh khá, giỏi giải một bài toán với những người thày không gặp khó khăn nhiều, tuy nhiên việc phát huy tính sáng tạo vốn có của các em học sinh khá giỏi là điều chúng ta cần quan tâm hơn. Qua quá trình giảng dạy cũng như bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, tôi thấy việc nhận thức về tư duy toán học của rất nhiều học sinh còn tương đối mờ nhạt. Học sinh ít suy nghĩ, tìm tòi giải toán nhất là các bài toán yêu cầu tính kiên trì, sự sáng tạo cao, do đó chưa phát huy hết khả năng, tố chất của các em. Rất nhiều em khá, giỏi nhưng khi gặp những bài toán mới, mặc dù chỉ là những bài toán được khai thác, phát triển từ bài toán cơ bản quen thuộc, nhưng các em vẫn rất lúng túng dẫn đến kết quả học tập của các em chưa được như mong muốn. Đứng trước thực trạng như vậy, mỗi giáo viên chúng ta luôn trăn trở là làm thế nào để khi bồi dưỡng các học sinh khá, giỏi có thể phát huy được tối đa tố chất, sự sáng tạo của các em. Trong phạm vi nhỏ hẹp này, tôi xin đưa ra ý kiến và trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp, cũng như đối với các em học sinh khá, giỏi một kinh nghiệm của mình về việc khai thác và phát triển từ bài toán cơ bản, quen thuộc, để cho các em tự tin hơn, hứng thú hơn trong học tập. Tôi mong muốn tháo gỡ được phần nào khó khăn, trở ngại cùng đồng nghiệp. Qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu tôi nhận thấy: Việc hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển từ một bài toán cơ bản là một vấn đề cần được đề cập một cách sâu sắc và sát thực hơn. Đó chính là lý do tôi chọn đề tài: “ Khai thác và phát triển một số bài toán số học”. ii - Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ của đề tài 1. Đề tài có tác dụng giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải một số bài tập về số học nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ 2
3. Khai thác và phát triển một số bài toán số học động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến các bài toán số học. 2. Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách nâng cao, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập . 3. Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm bài tập.Từ đó bước đầu hình thành khả năng tổng hợp, khái quát một vấn đề toán học. 4. Giúp cho học sinh linh hoạt, chủ động sáng tạo và hứng thú học tập môn toán , ngày càng yêu thích môn toán hơn. iii - Giới hạn và phạm vi áp dụng của đề tài * Bồi dưỡng năng lực, tư duy sáng tạo của học sinh thông qua giải toán nói chung và toán số học đối với học sinh lớp 6 . * Đề tài có thể áp dụng đối với học sinh lớp 6 trong các giờ luyện tập, ôn tập chương, ôn tập cuối kỳ, cuối năm, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Tuy nhiên đề tài này áp dụng phù hợp hơn với đối tượng học sinh khá giỏi, còn với học sinh trung bình ta phải đi từng bước thật cụ thể thì các em mới có thể khái quát được bài toán. iv - Dự kiến kết quả của đề tài * Khi chưa thực hiện đề tài này: Học sinh chỉ giải được một số ít bài tập số hoc cụ thể, còn lúng túng, chưa linh hoạt khi gặp các bài tập tương tự hoặc được phát triển, tổng quát lên . * Nếu thực hiện được đề tài này thì học sinh có thể phát triển bài toán, xử lý linh hoạt hơn khi gặp các bài tập tương tự hoặc được phát triển lên, làm bài tập tốt hơn, linh hoạt, sáng tạo hơn, suy luận tốt hơn, tự giải quyết được các bài tập có dạng tương tự hoặc ở mức cao hơn, luôn có ý thức nhìn một bài toán dưới 3
4. Khai thác và phát triển một số bài toán số học dạng sâu, rộng hơn. Học sinh biết khai thác, phát triển, khái quát bái toán, nhìn bài toán dưới nhiều góc độ, tiếp cận với nhiều phương pháp giải, phát huy sự say mê, tư duy sáng tạo, sự linh hoạt cho các em. Bên cạnh đó làm cho các em tự tin hơn, hứng thú hơn khi học toán cũng như các môn học khác. v - phương pháp nghiên cứu: 1. Phương pháp điều tra. 2. Phương pháp đối chứng. 3. Phương pháp thực nghiệm 4
5. Khai thác và phát triển một số bài toán số học Phần B – Giải quyết vấn đề I. Thực trạng của vấn đề: Trong thực tiễn giảng dạy của tôi và một số đồng nghiệp tôi thấy việc phát triển một bài toán số học trong giảng dạy thật sự chưa đạt hiệu quả, theo ý muốn của giáo viên. Học sinh học tập thụ động trong các tiết luyện tập, ôn tập, các buổi bồi dưỡng học sinh khá giỏi của phân môn này và chưa có ý thức tự lập, sáng tạo trong việc khai thác và phát triển bài toán. Trong giảng dạy tôi đã điều tra việc khai thác, phát triển một số bài toán số học như sau ( đối với học sinh khá, giỏi: cho học sinh làm bài kiểm tra): Đề bài (thời gian làm bài 45 phút): Câu 1: Cho S = 2+ 22 + 23 + . . . +220 Hỏi S có chia hết cho 6 không? Câu 2: Tính các tổng sau: A = 1 + 2 + 3 + . . . + 200 1 1 1 1 B = 1.2 2.3 3.4 99.100 Câu 3: Biết: 12+22+32+ +102 = 385 Tính: 22+42+62+ . . . + 202 Kết quả: Số học sinh Số học sinh Số học sinh Số học sinh Số lượng đạt điểm đạt điểm giỏi đạt điểm khá đạt điểm TB yếu Học sinh 30 3 (10%) 7 (23,3%) 15 (50%) 5 (16,7%) 5
6. Khai thác và phát triển một số bài toán số học II. Nội dung thực hiện: • Phương pháp tiến hành: Học sinh biết vận dụng kiến thức, làm bài tập áp dụng, biết suy luận, khai thác, phát triển các bài toán nói chung và các bài toán số học nói riêng . 1. Dạng 1: Khai thác, phát triển từ một bài toán chia hết. Ta bắt đầu từ một bài toán đơn giản sau: 1.1. Bài 1: Chứng minh rằng: S = 2 + 22 + 23 + 24  6 Với bài toán này một số em đi tính S ( S = 30 nên S 6), nhưng nếu gặp bài toán mà tổng S gồm nhiều số hạng, luỹ thừa với số mũ rất lớn thì việc tính S sẽ gặp nhiều khó khăn( đôi khi không tính được). Tuy nhiên nếu quan sát kỹ một chút, ta có cách giải hợp lý. *Bài giải: Ta có:S = 2 + 22 + 23 + 24 S = 2(1+2) + 23 (1+2) S = 2.3 + 23.3 S = 3(2+23) Dễ thấy: S 3 và S  2 Mà (2; 3) = 1 Do đó S  6 Như vậy: Muốn giải được dạng toán này trước hết ta dùng phương pháp nhóm sau đó sử dụng tính chất chia hết rồi nhận xét. Từ bài toán trên, nhận xét rằng (7;6) = 1 và 42 = 7. 6, ta có thể phát triển thành bài toán sau: 1.2. Bài 2: Chứng minh rằng: S = 2 + 22 + 23 + 2 4 + 2 5 + 26  42. Bài giải: Ta có: S = (2 + 22+ 23 )+ ( 24 + 25 + 26) S = 2(1+2 + 22 ) + 2 4(1 + 2 + 22) S = 2. 7 + 24.7 S = 7.( 2 + 24 ) 6
7. Khai thác và phát triển một số bài toán số học S  7 và S 6 Vì (6;7) = 1 Nên S 6. 7 hay S  42. *Lưu ý: ở bài này ta nhóm 3 số hạng để được tổng có các số hạng chia hết cho 7, trên cơ sở đó ta phát triển thành bài toán sau: 1.3. Bài 3 Chứng minh rằng: S = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 22016  14. Hướng dẫn giải: Vì S 2 và bằng cách nhóm 3 số hạng như trên, ta dễ dàng chứng minh được S 7 và (2;7) = 1 nên S  2. 7 hay S  14. ở hai bài toán trên ta nhóm 3 số hạng để được tổng có các số hạng chia hết cho 7. Bằng cách tương tự ta có thể nhóm nhiều số hạng hơn. Cụ thể, vì 20164, do đó tổng trên có thể nhóm 4 hạng tử với nhau, từ đó ta lại phát triển thành bài toán sau: 1.4 Bài 4 Chứng minh rằng: S = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 22016  210. Nhận xét: ta thấy 210 = 14. 15, do đó ta chứng minh S 15. Mặt khác vì 2016  4, nên ta có thể nhóm 4 hạng tử với nhau. *Bài giải: Ta có S = (2 + 22 + 23 + 24) + . . . + (22013 + 22014 + 22015 + 22016) S = 2(1+2+22+23) + . . . + 22013 (1 + 2 + 22 + 23) S = 2.15 + . . . +22013.15 S = 15(2 + 25 + . . . + 22013) S 15, Ta có S  14 Mặt khác: (15; 14) = 1 Vậy S  15.14 hay S  210. 7
8. Khai thác và phát triển một số bài toán số học Từ các bài toán trên, bằng cách tương tự ta có thể phát triển thành bài toán tổng quát sau: 1.5 Bài 5: Chứng minh rằng: (2 + 22 + 23 + . . . + 2n)  210 với n = 12k, k N* Hướng dẫn: Cách giải tương tự bài 4 *Lưu ý: Các bài tập dạng này cần chú ý đến số bị chia hết để phân tích số đó thành tích các số đôi một nguyên tố cùng nhau, sau đó sử dụng phương pháp nhóm. 1.5. Các bài tập tự luyện tập Chứng minh rằng: a. (2 + 22+ 23 + . . . + 22005) 31 Gợi ý: Ta thấy (2 + 22 + 23 + 24 + 25)  31, do đó có cách nhóm hợp lý. b. (2 + 22 + 23 + . . . + 22004)  63 c. (2 + 22 + 23 + . . . + 22040)  210 2. Dạng 2: Khai thác, phát triển từ một bài toán tìm chữ số tận cùng. Ta bắt đầu từ bài toán khá đơn giản sau: 2.1. Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của 220. *Bài giải: Ta có: 24 = 16 (24)n = 6 (Với n N*, (24)n có tận cùng là 6. Mặt khác: 220 = 24.5 = (24)5 Vậy 220 có tận cùng là 6. Như vậy: ở bài này ta đã sử dụng đến tính chất của luỹ thừa đặc biệt là luỹ thừa của 6. Từ bài toán trên ta có thể phát triển thành bài toán sau: 2.2. Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của 22000 Bài giải: Ta có: 22000 = 24.500 = (24)500 Theo trên ta có 22000 = 6 Hay 22000 có tận cùng là 6. 8