Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác các ứng dụng từ một bài toán Lớp 8

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác các ứng dụng từ một bài toán Lớp 8

1. Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 Phần I : giới thiệu đề tài : A. Lý do chọn đề tài: “Giải toán là một nghệ thuật thực hành;giống nh− bơi lội,tr−ợt tuyết,hay chơi đàn ”Vì vậy để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập .Tuy rằng,không phải là cứ giải bài tập là có kỹ năng.Việc luyện tập sẽ có hiệu quả,nếu nh− biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập t−ơng tự,nhằm vận dụng một tính chất nào đó,nhằm rèn luyện một ph−ơng pháp chứng minh nào đó. Thực tiễn cho thấy học sinh th−ờng học toán không chú ý đến ph−ơng pháp giải nên khi gặp những bài toán có sử dụng ph−ơng pháp t−ơng tự gặp nhiều lúng túng. Vậy không ngoài tâm huyết với các em học sinh,niềm đam mê dành cho bộ môn toán học và sự mong muốn nâng cao chất l−ợng –tôi đQ tiến hành học tập tích luỹ soạn ra đề tài này” .” B.nhiệm vụ : +Cơ sở lý luận của đề tài: việc khai thác bài tập toán có ý nghĩa hay không? +Vận dụng lý luận vào thực tiễn: khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 C.Ph−ơng pháp nghiên cứu: +ph−ơng pháp nghiên cứu thực tiễn,lý thuyết +ph−ơng pháp tổng kết kinh nghiệm +ph−ơng pháp thực nghiệm s− phạm D.Giới hạn đề tài và mục đích nghiên cứu: -Giới hạn đề tài khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8:áp dụng để dạy học sinh lớp 6,7,8 -Mục đích đề tài:Phục vụ cho công tác bồi d−ỡng các khối 6,7,8 và làm tài liệu tự học cho các em giúp các em tìm cho mình ph−ơng pháp học tập tích cực. Phần 2: nội dung A. Cơ sở lý luận của đề tài: Giải bài tập toán là quá trình suy luận,nhằm khám phá ra quan hệ lôgic giữa cái đQ cho (giả thiết) với cái phải tìm (.kết luận).Nh−ng các quy tắc suy luận,cũng nh− các ph−ơng pháp chứng minh ch−a đ−ợc dạy t−ờng minh.Do đó,học sinh th−ờng gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập.Thực tiễn dạy học cũng cho thấy:HS khá giỏi th−ờng đúc kết những tri thức,ph−ơng pháp cần thiết cho mình bằng con đ−ờng kinh nghiệm;cònHS trung bình ,yếu, kém gặp nhiều lúng túng.Để có kĩ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập.Tuy rằng,không phải cứ giải nhiều bài tập là có nhiều kĩ năng.Việc luyên tập sẽ có nhiều hiệu quả,nếu nh− biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập t−ơng tự,nhằm vận dụng Ng−ời thực hiện: Lê Thị Hiền 1
2. Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 một tính chất nào đó,nhằm rèn luyện một ph−ơng pháp chứng minh nàođó. Quan sát đặc điểm bài toán,khái quát đặc điểm đề mục là vô cùng quan trọng,song quan trọng hơn là sự khái quát h−ớng suy nghĩ và ph−ơng pháp giải.Sự thực là khi giải bài tập thì không chỉ là giải một vấn đề cụ thể mà là giải đề bài trong một loạt vấn đề nào đó.Do đó h−ớng suy nghĩ và ph−ơng pháp giải bài tập cũng nhất định có một ý nghĩa chung nào đó.Nếu ta chú ý từ đó mà khái quát đ−ợc h−ớng suy nghĩ và cách giải của vấn đề nào đó là gì thì ta sẽ có thể dùng nó để chỉ đạo giải vấn đề cùng loại và sẽ mở rộng ra.Nhà toán học Đềcác nói rất đúng rằng: “Mỗi vấn đề mà tôi giải quyết đều sẽ trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải quyết vấn đề khác”.Do đó sau khi giải một bài toán nên chú ý khai thác h−ớng suy nghĩ và cách giải. B. Vận dụng lý luận vào thực tiễn: xét bài toán 28 trang 21 sách bài tập toán 8 –tập 1: a.Chứng minh: 1 − 1 = 1 (1) x x +1 x(x + )1 b.Đố: Đố em tính nhẩm đ−ợc tổng sau: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 x(x + )1 (x +1)(x + )2 (x + 2)(x + )3 (x + 3)(x + )4 (x + 4)(x + )5 x + − x -H−ớng dẫn :a.Biến đổi vế trái thành vế phải : 1 − 1 = 1 = 1 x x +1 x(x + )1 x(x + )1 b.Xét đặc điểm đẳng thức ở câu a:VP có mẫu là 1tích 2biểu thức cách nhau 1;1 chính là tử thì có 1 − 1 = 1 .T−ơng tự với đặc điểm nh− VP ở câu a;ta có: x x +1 x(x + )1 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = x(x + )1 (x +1)(x + )2 (x + 2)(x + )3 (x + 3)(x + )4 (x + 4)(x + )5 x + 5 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 1 x x +1 x +1 x + 2 x + 2 x + 3 x + 3 x + 4 x + 4 x + 5 x + 5 x -Cách phát biểu khác của bài toán: a.Viết phân thức 1 thành hiệu của hai phân thức có tử bàng 1 x(x + )1 b.Vận dụng kết quả câu a,hQy rút gọn biểu thức sau: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 x(x + )1 (x +1)(x + )2 (x + 2)(x + )3 (x + 3)(x + )4 (x + 4)(x + )5 x + 5 I.khai thác ứng dụng bài 28 trong tính toán;trong toán rút gọn;toán chứng minh đẳng thức : Từ(1),nếu thay x=1 thì ta có các bài toán sau: Ng−ời thực hiện: Lê Thị Hiền 2
3. Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 Bài1 :Tính: 1 1 1 1 1 1 a. + + + + + + 2 2.3 3.4 4.5 5.6 99.100 H−ớng dẫn : 1 1 1 1 1 1 + + + + + + = 2 2.3 3.4 4.5 5.6 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 + − + − + − + + − = 1− = 2 2 3 3 4 4 5 99 100 100 100 1 1 1 1 + Từ đó có bài toán tổng quát :b.Tính tổng + + + + với n ≥ 1 2 3.2 4.3 n(n + )1 n H−ớng dẫn :t−ơng tự câu a;ta có kết quả là:1- 1 = n +1 n +1 *) Nhận xét đặc điểm mẫu các phân thức để từ đó ta có các dạng bài toán khác:các hạng tử trong tổng trên đều là những phân thức có dạng:mẫu là một tích 2nhân tử cách nhau 1 đơn vị chính bằng tử.Vậy mẫu là tích 2nhân tử cách nhau 2 hay 3 hay 4 thì giải bài toán nh− thế nào?chẳng hạn: Bài2 :Tính tổng: 1 1 1 1 111 1 a. + + + + b. + + ++ với n ≥ 0 1.3 3.5 5.7 2005.2007 2.5 5.8 8.11 (3n+ 2)(3n + 5) H−ớng dẫn :a.Viết mỗi hạng tử trong tổng d−ới dạng hiệu 2phân thức: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( − ); = ( − ); = ( − ); = ( − ) .Vậy 1.3 2 1 3 3.5 2 3 5 5.7 2 5 7 2005.2007 2 2005 2007 1 1 1 1 + + + + = 1.3 3.5 5.7 2005.2007 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1003 ( − + − + − + + − ) = 1( − ) = 2 1 3 3 5 5 7 2005 2007 2 2007 2007 b.Ph−ơng pháp làm t−ơng tự nh− câu a. 1 11 1 Xét hạng tử tổng quát: =( − ) nên ta có: (3n++ 2)(3n 5) 3 3n + 2 3n + 5 111 1 + + ++ = 2.5 5.8 8.11 (3n+ 2)(3n + 5) 1111111 1 1 11 1 n1+ (−+−+−++ − )( = − ) = 32 5 5 8811 3n2++ 3n5 32 3n5 ++ 3n5 +T−ơng tự nh− vậy có thể đề xuất một loạt bài toán cùng loại và giải quyết với cùng ph−ơng pháp. *) Chú ý đến đặc điểm tử và mẫu các phân thức ta có bài toán tổng quát hơn:tử là một số(biểu thức) bất kỳ,mẫu là tích của 2 số(biểu thức) cách đều nhau thì giải quyết bài toán nh− thế nào?chẳng hạn: Ng−ời thực hiện: Lê Thị Hiền 3
4. Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 Bài3: Tính tổng: 5 5 5 5 5 a. + + + + + 2.4 4.6 6.8 8.10 98.100 nnn+ + + n −=−=−= = − b. với a213243 a a a a a a k1k+ a =b aa12 aa 23 aa 34 aa kk1+ H−ớng dẫn :a.Ph−ơng pháp làm:viết các hạng tử trong tổng d−ới dạng hiệu(t−ơng 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 tự bài 2) = ( − ); = ( − ); = ( − ); ; = ( − ) do đó: 2.4 2 2 4 4.6 2 4 6 6.8 2 6 8 98.100 2 98 100 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + = ( − + − + − + + − ) = 2.4 4.6 6.8 8.10 98.100 2 2 4 4 6 6 8 98 100 5 1 1 49 = ( − ) = 2 2 100 20 b.Ph−ơng pháp làm t−ơng tự câu a.Đây chính là bài toán tổng quát rút ra từ các bài toán trên.Vậy ta xét các tr−ờng hợp sau: −=−=−= = − +Tr−ờng hợp 1:Nếu a213243 a a a a a a k1k+ a =n Bài toán này giải đ−ợc dễ dàng theo cách phân tích của bài 1 vì khi đó: n 1 1 = − aa12 a 1 a 2 . n 1 1 = − aakk1+ a k a k1 + nnn n 1 1 Cộng từng vế ta có: + + + = − a12 .a a 23 .a a 34 .a a kk1 .a + ak a k+ 1 −=−=−= = − ≠ n +Tr−ờng hợp 2:Nếu a213243 a a a a a a k1k+ a = b nnn n n bbb b Ta có + + + = ( + + ++ ) a12 .a a 23 .a a 34 .a a kk1 .a + b a12 .a a 23 .a a 34 .a a kk1 .a + Bài toán này thực chất đQ đ−a về dạng bài 2;bài3.Do đó ta có kết quả là n 1 1 (− ) b ak a k+ 1 -Nếu mẫu là tích của 3 số tự nhiên cách đều nhau thì sao?Từ đó ta có các bài toán khó hơn : 111 1 Bài4:Tính tổng :A= + + ++ với n ≥ 1 ,n ∈ N 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n− 1).n.(n + 1) 111 1 B= + + ++ với n ∈ N;n ≥ 2 1.3.5 3.5.7 5.7.9 (2n− 1)(2n + 1)(2n + 3) H−ớng dẫn : Ph−ơng pháp giải t−ơng tự nh− các bài trên:viết các hạng tử d−ới dạng hiệu. Ng−ời thực hiện: Lê Thị Hiền 4
5. Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 2 1 1 Nhận xét: = − Do đó ta có: (n−+ 1)n(n 1) (n − 1).n n.(n + 1) 11111 1 1 11 1 A= (−+−++ − )( =− ) 21.2 2.3 2.3 3.4 (n− 1).n n.(n + 1) 2 2 n.(n + 1) 4 1 1 Nhận xét: = − Do đó ta có: (2n−++ 1)(2n 1)(2n 3) (2n −+ 1)(2n 1) (2n ++ 1)(2n 3) 1111111 1 1 B = (−+−+−++ − ) 4 1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9 (2n− 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3) 1 1 1 = (− ) 4 3 (2n+ 1)(2n + 3) 1 1 ba− *) Nhận xét : Từ (1) ta có đẳng thức tổng quát hơn: − = với a ≠ ;0 b ≠ 0 thì a b a.b việc áp dụng ng−ợc công thức trên trong thực tế đ−ợc sử dụng rất nhiều. Chẳng hạn với bài toán sau: Bài 5 : Cho biết a,b,c là các số thực khác nhau.Chứng minh: − − − bc+ ca + ab =++ 222 (a−− b)(a c) (b −− c)(b a) (c −− a)(c b) a −−− b b c c a H−ớng dẫn: Đối với đề này nếu dùng cách hoà đồng mẫu số vế trái để chứng minh thì quá trình tính phức tạp.Có cách gì ngắn gọn không?Quan sát các số hạng ở vế trái ta thấy tử số vừa đúng bằng hiệu của 2 thừa số ở mẫu số: b-c=(a-c)-(a-b);c-a=(b-a)-(b-c);a-b=(c-b)-(c-a).Điều đó gợi cho ta nhớ đến dùng b− a 1 1 bc− 1 1 ng−ợc công thức = − tức = − . Do đó: a.b a b (a− b)(a − c) a − b a − c − − − bc+ ca + ab =−+−+− 111111 = (a−− b)(a c) (b −− c)(b a) (c −− a)(c b) a −−−−−− b a c b c b a c a c b 111111+++++=++ 222 (ĐPCM) abcabcabcabcabbcca−−−−−−−−− *)Chú ý đến mẫu: nếu ta thay x.(x+1)= x2 + x ; (x+1)(x+2)= x2 + 3x + 2 ; .ta sẽ có các bài toán luyện cho học sinh kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử: Bài6 :Rút gọn các biêủ thức sau: a. M= 11+ + 1 + 1 + 1 x22+ x x ++ 3x2 x 2 ++ 5x6 x 2 ++ 7x12 x 2 ++ 9x20 b. N= 1+ 1 + 1 + 1 x2−+ 5x 6 x 2 −+ 7x 12 x 2 −+ 9x 20 x 2 −+ 11x 30 H−ớng dẫn :a.Để rút gọn M cần phân tích các mẫu thành nhân tử Ta có: x2 +x = x(x+1); x2+ 3x += 2 x 2 ++ x 2x + 2 = (x+1)(x+2); x2+ 5x += 6 x 2 + 2x + 3x += 6 (x+2)(x+3); x2+ 7x + 12 = x 2 + 3x + 4x + 12 =(x+3)(x+4); x2+ 9x + 20 = x 2 + 4x + 5x + 20 =(x+4)(x+5) Do đó: Ng−ời thực hiện: Lê Thị Hiền 5
6. Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 M= 11+ + 1 + 1 + 1 (x+ 1)x (x ++ 1)(x 2) (x ++ 2)(x 3) (x ++ 3)(x 4) (x ++ 4)(x 5) = 1111111111−+−+−+−+− xx1x1x2x2x3x3x4x4x5+++++++++ = 1− 1 = 5 x x+ 5 x(x + 5) b.T−ơng tự ta có: N= 1+ 1 + 1 + 1 (x−− 2)(x 3) (x −− 3)(x 4) (x −− 4)(x 5) (x −− 5)(x 6) = 11111111−+− + −+− x2x3x3x4x4x5x5x6−−−−−−−− − = 1− 1 = 4 x− 2 x − 6 (x −− 2)(x 6) Bài 7: Rút gọn: a.K= aa+ + a + a1 + x2+ a.x x 2 ++ 3a.x 2a 22 x ++ 5.a.x 6a 22 x ++ 7.a.x 12a 2 x + 4a aa a a1 b.H= + + ++ + x22+ ax x ++ 3ax 2a 22 x ++ 5ax 6a 22 x ++ 19ax 90a 2 x + 10a H−ớng dẫn : a.K= aa+ + a + a1 + x(x+ a) (x ++ a)(x 2a) (x ++ 2a)(x 3a) (x ++ 3a)(x 4a) x + 4a = 1111−+− + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 x x+++ a x a x 2a x + 2a x3a + x3a + x + 4a x + 4a = 1 x b.H= aa+ + a + a1 + - x(x+ a) (x ++ a)(x 2a) (x ++ 2a)(x 3a) (x ++ 3a)(x 4a) x + 4a 1 a 1 + + + x+ 5a (x ++ 9a)(x 10a) x + 10a H== 1111−+− + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 - x xa+++ x a x2a x2a + x3a + x3a + x + 4a x + 4a 1 11 1 ++ − + x+ 5a x ++ 9a x 10a x + 10a H= 1 x 2x1+ 1 1 *)Xét biểu thức sau: (x+ 1)2 − x 2 = 2x + 1 nên ta có: = − x.(x2+ 1) 22 x (x + 1) 2 Do đó ta có bài toán sau: Ng−ời thực hiện: Lê Thị Hiền 6