Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh tư duy và trình bày bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh tư duy và trình bày bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

1. MỤC LỤC I. PHẦN MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài 2 3. Đối tượng nghiên cứu 3 4. Giới hạn của đề tài 3 5. Phương Pháp nghiên cứu 3 II. PHẦN NỘI DUNG 5 1. Cơ sở lí luận 5 2. Thực trạng vấn dề nghiên cứu 6 2.1. Thuận lợi – khó khăn: 6 2.2. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đặt ra 8 3. Nội dung và hình thức của giải pháp 8 a. Mục tiêu của giải pháp 8 b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp 9 c. Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp 23 d. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học về vấn đề nghiên cứu 24 III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 25 1. Kết luận 25 2. Kiến nghị 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO
2. I. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Như chúng ta đã biết, Toán học là môn khoa học xuất hiện trong đời sống chúng ta từ thời cổ đại sơ khai. Đây là một môn học hình thành cho học sinh tính chính xác, tính khoa học, hệ thống và logic Vì vậy nếu chất lượng dạy và học Toán được nâng cao thì có nghĩa chúng ta đã tiếp cận nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn. Theo Phân phối chương trình môn Toán 8 do Sở giáo dục và đào tạo Đắk Lắk ban hành thì phần Phân tích đa thức thành nhân tử có 4 tiết lý thuyết và 2 tiết luyện tập. Đây quả là một thời lượng khá khiêm tốn so với khối lượng kiến thức, kỹ năng thực hành mà học sinh cần nắm bắt và thực hiện được. Mặt khác, kết quả của bài toán phân tích đa thức thành nhân tử có mối liên hệ khá đậm nét trong các phần kiến thức tiếp theo của chương trình toán THCS. Chính vì vậy, trong khi giáo viên và học sinh đều có tâm lý rất coi trọng phần lý thuyết và thực hành phân tích đa thức thành nhân tử thì chúng ta cũng đặt ra câu hỏi trăn trở đó là: làm sao để học sinh có thể nắm được một số phương pháp cơ bản, định hướng cách làm, thực hiện thành thục các bài tập cơ bản và nâng cao dần. Trở về thực trạng phân tích đa thức thành nhân tử của học trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm, điều rất đáng mừng là các thầy cô giáo thường xuyên vận dụng các phương pháp dạy học tích cực vào việc cung cấp kiến thức, kỹ năng cho các em học sinh; các em học sinh cũng có ý thức tự giác học tập, trao đổi bài làm với các bạn trong lớp, Thống kê điểm các bài phân tích đa thức thành nhân tử trong bài kiểm tra chương I –Đại số 8 của các em khối 8 của năm học 2017 – 2018 cho thấy: Kểt quả năm 2017 - 2018 Tổng Giỏi Khá TB Yếu – Kém số HS TS Tỉ lệ % TS Tỉ lệ % TS Tỉ lệ % TS Tỉ lệ % 100 2 2% 12 12 % 42 42% 44 44% Trang 1
3. hội tiếp cận với các bài toán khó để tham gia các kì thi học sinh giỏi các cấp. Giúp học sinh có thể nắm được một số phương pháp cơ bản, định hướng cách làm, thực hiện thành thục các bài tập cơ bản và nâng cao dần. b. Nhiệm vụ: Đánh giá thực trạng học lý thuyết và thực hành phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh để tìm hiểu, phát hiện các điểm mạnh và điểm yếu của các em. Nghiên cứu và chọn lọc một số biện pháp để hướng dẫn học sinh phân tích đa thức thành nhân tử phù hợp với tình hình thực tế học sinh của nhà trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm. Áp dụng sáng kiến vào thực tế, thu thập kết quả học tập của học sinh và đánh giá kết quả của sáng kiến kinh nghiệm. 3. Đối tượng nghiên cứu Do tỷ lệ học sinh yếu kém khá đông nên đề tài này tôi chọn đối tượng nghiên cứu là học sinh khối 8 của trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm. 4. Giới hạn của đề tài Sáng kiến kinh nghiệm này được tôi tìm hiểu, nghiên cứu giúp học sinh tư duy, trình bày bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và đưa vào áp dụng đối với học sinh khối 8 của trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm năm học 2018 – 2019. 5. Phương Pháp nghiên cứu * Phương pháp nghiên cứu lý luận: - Nghiên cứu nội dung: Luật Giáo dục, Điều lệ trường THCS, PPCT Toán các khối lớp - Nghiên cứu các tài liệu bồi dưỡng Giáo viên trong các khóa bồi dưỡng nghiệp vụ. * Phương pháp nghiên cứu thực tế: - Nghiên cứu kết quả bài kiểm tra Chương I – Đại số 8 - Nghiên cứu kết quả phần phân tích đa thức thành nhân tử trong các tiết học, thi ViOlympic toán học trên mạng, Trang 3
4. II. PHẦN NỘI DUNG 1. Cơ sở lí luận Theo Luật sửa đổi và bổ sung một số điều của Luật Giáo dục 2005. Theo đó, tại điều 2, điều 3 trong Luật Giáo dục có nêu: Điều 2: Mục tiêu giáo dục Mục tiêu giáo dục là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc. Điều 3: Tính chất, nguyên lý giáo dục 1. Nền giáo dục Việt Nam là nền giáo dục xã hội chủ nghĩa có tính nhân dân, dân tộc, khoa học, hiện đại, lấy chủ nghĩa Mác – Lênin và tư tưởng Hồ Chí Minh làm nền tảng. 2. Hoạt động giáo dục phải được thực hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội.” Với mục tiêu, tính chất và nguyên lý giáo dục như vậy, nền Giáo dục Việt Nam đã có nền móng vững chắc về hệ tư tưởng, mục tiêu và đường hướng hoạt động. Giáo viên là người hướng dẫn và điều khiển học sinh tiếp thu tri thức nên không thể không nắm vững các nội dung kiến thức và kĩ năng sư phạm cần thiết. Mỗi nội dung của toán học nói riêng và của khoa học nói chung không thể tách rời khỏi tổng thể mà nội dung đó là một bộ phận cấu thành. Vì vậy mỗi vấn đề cần được nhìn nhận một cách tổng thể trên khía cạnh các yếu tố tác động đến vấn đề đó và ảnh hưởng của nó đến các nội dung khác. Hoạt động dạy – học chỉ có thể đạt đến hiệu quả cao nhất khi các chủ thể (thầy giáo – học sinh) nhận thức rõ nội dung, ý nghĩa công việc mà mình đang thực hiện. Do vậy, không một phần kiến thức nào của Toán 8 lại có thể tách rời chuỗi kiến thức phổ thông, càng không thể tách rời phần toán Phân tích đa thức thành nhân tử Trang 5
5. + Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán khác nhau. + Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic. - Tôi đã tìm hiểu nguyên nhân khách quan và chủ quan dẫn đến đa số học sinh chưa có kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử như sau: Đối với giáo viên : Trong tiết dạy giáo viên thường phối hợp nhiều phương pháp đễ dẫn dắt học sinh tìm hiểu kiến thức nhưng nội dung bài học nhiều không đảm bảo được thời lượng 45 phút nên chưa có được phương pháp giải bài tập cụ thể cho từng đối tượng học sinh. Đối với phụ huynh: Chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc việc học của học sinh. Đa số phụ huynh thường phó mặc cho nhà trường, không kiểm tra được việc học ở nhà cũng như việc chuẩn bị bài trước khi đến lớp. Đối với học sinh : + Học sinh có ý thức học tập không đồng đều, ít tập trung chú ý trong giờ học. + Đa số học sinh yếu về kỹ năng tính toán, quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán. Nguyên nhân là do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới cộng thêm việc không chủ động trong học tập ngay từ đầu năm học dẫn đến chay lười trong học tập. + Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu nhẫn nại khi gặp bài toán khó. + Không có thói quen tự học ở nhà: không làm bài, học bài, soạn bài trước khi đến lớp. + Bạn bè lôi kéo, rủ rê ham chơi. - Vì vậy làm sao để học sinh yêu thích môn Toán, làm sao để học sinh có kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, làm sao để không còn học sinh yếu kém bộ môn. Để giải quyết các vấn đề trên trong quá trình giảng dạy tôi đã đề ra những phương pháp cơ bản, phương pháp đặt biệt thông qua những bài tập cụ thể Trang 7
6. các phương pháp để phân tích đúng, hợp lý, chính xác, nhanh chóng. Vì vậy, khi xây dựng đề tài này, tôi mong muốn: - Giúp học sinh nắm chắc kiến thức về một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Học sinh có kỹ năng vận dụng các phương pháp thích hợp vào bài tập phân tích đa thức thành nhân tử cụ thể. Học sinh có thêm sự rèn luyện tư duy toán học. - Giúp giáo viên có thêm phương pháp chọn cách giảng dạy thích hợp với từng đối tượng học sinh, từng dạng toán, từng dạng bài tập. - Nâng cao chất lượng đại trà và chất lượng Học sinh giỏi toán 8. Qua đó góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh. b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp Căn cứ vào kết quả học tập của học sinh lớp 8 trong các năm học và qua việc tự nghiên cứu, tìm tòi và trao đổi với đồng nghiệp, tôi mạnh dạn đưa ra một số biện pháp nhằm hướng dẫn học sinh phân tích đa thức thành nhân tử. Nhưng trước hết, tôi xin điểm qua lại phần nội dung kiến thức cơ bản mà chương trình SGK, Tài liệu chuẩn kiến thức kỹ năng yêu cầu. Hệ thống lý thuyết phân tích đa thức thành nhân tử: *) Định nghĩa Phân tích đa thức thành nhân tử: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. Ví dụ: Phân tích đa thức 5x3 10x2 5x thành nhân tử như sau: 5x3 10x2 5x 5x x2 2x 1 (đặt nhân tử 5x chung) 5x x 1 2 (dùng hằng đẳng thức) *) Có bốn phương pháp cơ bản để thực hiện một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. - Đặt nhân tử chung. - Dùng hằng đẳng thức. - Nhóm các hạng tử. Trang 9
7. Ví dụ 7 (Đặt ẩn phụ): Phân tích đa thức x 1 x 2 x 3 x 4 80 thành nhân tử: x 1 x 2 x 3 x 4 80  x 1 x 4  x 2 x 3  80 x 2 5x 4 x 2 6x 6 80 (*) Đến đây, có thể đặt ẩn phụ theo hai cách: Cách 1: đặt t x2 5x 4 4 6 Cách 2: đặt t x2 5x 5 (để ý 5 ) 2 Do vậy ta có thể làm tiếp như sau: - Theo cách 1: (*) t t 2 80 t 2 2t 80 t 2 2t 1 81 t 1 2 92 t 1 9 t 1 9 t 10 t 8 x2 5x 14 x2 5x 4 - Theo cách 2: (*) t 1 t 1 80 t 2 1 80 t 2 81 t 9 t 9 x2 5x 14 x2 5x 4 Ví dụ 8 (Hệ số bất định): Phân tích đa thức 2x3 5x2 8x 3 thành nhân tử: 2x3 5x2 8x 3 Ta đi tìm các số a, b, c thỏa mãn: 2x3 5x2 8x 3 2x a x2 bx c 2x3 a 2b x2 ab 2c x ac Đồng nhất hệ số ta được: a 2b 5 a 1 ab 2c 8 b 2 ac 3 c 3 Khi này 2x3 5x2 8x 3 2x 1 x2 2x 3 Đến đây, Học sinh có thể phân tích tiếp để được: 2x3 5x2 8x 3 2x 1 x2 2x 3 2x 1 x 1 x 3 Trang 11
8. bị nhầm ở các lỗi: nhân tử chung thiếu phần hệ số, nhầm dấu của nhân tử chung. Dù có thể học sinh chán kiểu “cẩn thận” quá như thế này, nhưng giáo viên vẫn nên tạo nếp làm khoa học cho các em. - Cách 2: Đối với lớp chọn có nhiều học sinh khá giỏi thì có thể hướng dẫn các em phát hiện nhân tử chung qua việc tách các đơn thức hạng tử như sau: 2x2 6xy 2x.x 2x.3y Tùy vào năng lực của các em mà tôi vận dụng linh hoạt hai cách này để trợ giúp các em tìm nhân tử chung. Tuy nhiên, có những đa thức không phải dễ dàng thấy ngay được nhân tử chung, mà các em cần biến đổi đa thức qua một số bước. Đây là bài toán giúp khả năng tư duy toán học của các em lớp 8 phát triển dần: Ví dụ 2: Xét đa thức: 10x x y 8y y x Giáo viên có thể gợi ý hoặc tự học sinh sẽ phát hiện ra: Phần hệ số của 2 đa thức hạng tử có thể đặt 2 làm nhân tử chung. Khi các em đặt 2 làm nhân tử chung, bài toán đã dừng được chưa? Dù đã biến đa thức thành tích các nhân tử nhưng chưa phải triệt để. Học sinh có thể phát hiện ra hoặc giáo viên gợi ý: - “các em có thấy mối liên hệ giữa x y và y x hay không?” - “các em có thể biến đổi chúng như thế nào? Qua đó học sinh phát hiện ra chúng là các số đối nhau, việc biến đổi là việc làm tất nhiên của các em lúc này. Khi đó, kết quả phân tích được thực hiện dễ dàng hơn như sau: 10x x y 8y y x 2.5x x y 2.4y x y 2 x y 5x 4y Cách đổi dấu của đa thức là trường hợp thường gặp và dễ dàng thực hiện đối với các em đầu khối 8. Sau một thời gian học phần này, các em có thể tiếp xúc với một số dạng bài có sự biến đổi để xuất hiện nhân tử chung ở mức độ phức tạp hơn dần như: Ví dụ 3: Xét đa thức: 2 x 3 x 2 2 2 x Trang 13
9. Khi học sinh nhuần nhuyễn rồi, đặc biệt là cách thứ 3, thì khi gặp dạng bài phân tích đa thức thành nhân tử có liên quan đến hằng đẳng thức thì học sinh sẽ nhận biết dễ hơn và áp dụng vào giải toán linh hoạt hơn. Ví dụ 1: Xét đa thức 2x 1 2 x 3 2 Ở bài này, học sinh có thể áp dụng hằng đẳng thức bình phương của tổng, bình phương của hiệu hoặc hiệu hai bình phương. Trong đó, giáo viên khuyến khích học sinh sử dụng hiệu hai bình phương: 2x 1 2 x 3 2  2x 1 x 3  2x 1 x 3  2x 1 x 3 2x 1 x 3 3x 2 x 4 Như vậy trong trường hợp này, học sinh áp dụng theo “chiều thuận” của hằng đẳng thức đã được học. Ví dụ 2: Xét đa thức x2 4x 4 Giáo viên có thể gợi ý học sinh qua loạt câu hỏi gợi ý: - Đa thức có mấy hạng tử? giữa các hạng tử là dấu + hay – ? - Trong 7 hằng đẳng thức đã học, có những hằng đẳng thức nào mà 1 trong 2 vế có 3 hạng tử? - Có thể đưa đa thức đã cho về dạng hằng đẳng thức nào? Học sinh do vậy có thể phát hiện: có thể thuộc dạng hằng đẳng thức bình phương của tổng (hoặc hiệu – nếu học sinh phát hiện là bình phương của hiệu thì giáo viên lưu ý học sinh về dấu giữa các hạng tử) Học sinh có thể thực hiện như sau: x2 4x 4 x2 2.x.2 22 x 2 2 Như vậy, trong trường hợp này, học sinh áp dụng theo “chiều nghịch” của hằng đẳng thức đã được học. Tuy nhiên, không chỉ có những trường hợp “dễ dàng” nhìn thấy dạng hằng đẳng thức ngay như trên, có những bài phải biến đổi qua một số bước. Nhưng về cơ bản, những định hướng về cách tìm dạng hằng đẳng thức như trên cùng với thành quả về việc làm các dạng bài tập ở phần hằng đẳng thức trước đó, các em sẽ có kinh nghiệm để thực hiện được phần việc này. Trang 15
10. Dự đoán: 1. HS phát hiện ngay 2x là nhân tử chung. Theo dự đoán 1: 2. HS phát hiện 2 (hoặc x ) là nhân tử chung. 2x3 4x2 y 2xy2 18x Nếu xảy ra dự đoán 1 thì yêu cầu HS làm 2x x2 2xy y2 9 luôn. Nếu xảy ra dự đoán 2 (hoặc x ), yêu cầu HS Theo dự đoán 2: đặt 2 (hoặc x ) là nhân tử chung sau đó hỏi 2x3 4x2 y 2xy2 18x tiếp: “đa thức trong ngoặc đơn còn nhân tử 3 2 2 2 x x y xy 9x chung nào không?” 2x x2 2xy y2 9 2x x2 2xy y2 9 2x x2 2xy y2 9 GV hỏi HS tiếp: 2x x2 2xy y 2 9 Đa thức trong ngoặc đơn còn có nhân tử 2x x y 2 32  chung nào không? 2x x y 3 x y 3 Nếu có thì ta đặt nhân tử chung tiếp. Nếu không thì ta mới chuyển sang dạng câu hỏi thứ 2: - Đa thức trong ngoặc đơn có hằng đẳng thức nào không? Dự kiến: - Nếu có: thì hãy áp dụng hằng đẳng thức đó. - Nếu không có, thì hỏi tiếp: em có thể nhóm (hoặc tách hoặc thêm bớt) một số hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức không? Ở ví dụ trên, học sinh có thể thấy y2 9 áp dụng được hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, tuy nhiên, khi khai triển ra thì sẽ “tắc” vì không còn xuất hiện nhân tử chung hay hằng đẳng thức tiếp theo. Hoặc Học sinh có thế thấy x2 2xy có nhân tử chung, nhưng nếu đặt nhân tử chung đó ra thì bài toán cũng sẽ “tắc” vì không còn Trang 17