Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh khá, giỏi sáng tạo các bài toán mới từ bài toán gốc

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh khá, giỏi sáng tạo các bài toán mới từ bài toán gốc

1. PHO PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH CHƯƠNG TRƯỜNG THCS TÔN QUANG PHIỆT === === SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ, GIỎI SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN MỚI TỪ BÀI TOÁN GỐC GIÁO VIÊN: LÊ THANH HOÀ THÁNG: 4/2008 Nàm hoc 2007 - 2008
2. PHOØNG GIAÙO DUÏC THANH CHÖÔNG Tröôøng THCS Toân Quang Phieät HÖÔÙNG DAÃN HOÏC SINH KHAÙ GIOÛI TOAÙN SAÙNG TAÏO CAÙC BAØI TOAÙN MÔÙI TÖØ BAØI TOAÙN GOÁC Ngöôøi vieát: Leâ Thanh Hoaø Giaùo vieân toaùn tröôøng THCS Toân Quang Phieät Naêm hoïc: 2007 - 2008
3. I. ÑAËT VAÁN ÑEÀ: 1.Lyù do choïn ñeà taøi ÔÛ tröôøng THCS daïy toaùn laø daïy hoaït ñoäng toaùn hoïc cho hoïc sinh, trong ñoù giaûi toaùn laø ñaëc tröng chuû yeáu cuûa hoaït ñoäng toaùn hoïc cuûa HS. Ñeå reøn luyeän kyõ naêng giaûi toaùn cho HS ngoaøi vieäc trang bò toát kieán thöùc cô baûn cho HS giaùo vieân caàn höôùng daãn cho HS bieát caùch khai thaùc, môû roäng keát quaû caùc baøi toaùn cô baûn ñeå HS suy nghó tìm toøi nhöõng keát quaû môùi sau moãi baøi toaùn . Nhöng thaät tieác laø trong thöïc teá chuùng ta chöa laøm ñöôïc ñieàu ñoù moät caùch thöôøng xuyeân. Phaàn lôùn GV chuùng ta chöa coù thoùi quen khai thaùc moät baøi toaùn thaønh moät chuoãi baøi toaùn lieân quan, trong giaûi toaùn chuùng ta chæ döøng laïi ôû vieäc tìm ra keát quaû cuûa baøi toaùn. Ñieàu ñoù laøm cho HS khoù tìm ñöôïc moái lieân heä giöõa caùc kieán thöùc ñaõ hoïc. Cho neân khi baét ñaàu giaûi moät baøi toaùn môùi HS khoâng bieát phaûi baét ñaàu töø ñaâu? caàn vaän duïng kieán thöùc naøo? baøi toaùn coù lieân quan ñeán nhöõng baøi toaùn naøo ñaõ gaëp? Hình hoïc khoâng ñôn thuaàn ""Chæ veõ hình laø ra"".Noù cuõng ñoøi hoûi caàn phaûi coù suy luaän, phaân tích, töôûng töôïng caùi ñöùc tính caàn coù cuûa ngöôøi laøm toaùn. Caùc baïn ñaõ bao giôø töï hoûi, taïi sao nhieàu ngöôøi töï mình saùng taïo ra ñöôïc raát nhieàu baøi toaùn trong caùc lónh vöïc nhö ñaïi soá, giaûi tích, soá hoïc, nhöng trong hình hoïc laïi quaù ít nhö vaäy hay chöa? Neáu xem xeùt moät caùch nghieâm tuùc thì trong hình hoïc khoâng phaûi khoù tìm ra söï saùng taïo maø vaán ñeà laø chuùng ta ñaõ daønh cho hình hoïc söï quan taâm ôû möùc naøo. Trong quaù trình daïy toaùn vaø boài döôõng HS gioûi toaùn toâi thaáy raèng vieäc tìm toøi môû roäng caùc baøi toaùn quen thuoäc thaønh caùc baøi toaùn môùi, tìm caùc caùch giaûi khaùc nhau cho 1 baøi toaùn ñeå töø ñoù khaùc saâu kieán thöùc cho HS laø moät phöông phaùp khoa hoïc vaø hieäu quaû.Quùa trình naøy baét ñaàu töø caùc baøi toaùn ñôn giaûn ñeán baøi taäp khoù laø laø böôùc ñi phuø hôïp ñeå reøn luyeän naêng löïc tö duy cho HS. Moät ñieàu chaéc chaén raèng vieäc tìm toøi môû roäng baøi toaùn seõ kích thích höùng thuù hoïc taäp vaø oùc saùng taïo cuûa HS . Töø ñoù giuùp HS coù cô sôû khoa hoïc khi phaân tích , ñònh höôùng tìm lôøi giaûi cho aùc baøi toaùn khaùc. Hôn nöõa laø cuûng coá cho HS loøng tin vaøo khaû naêng giaûi toaùn cuûa mình. Chæ vaäy thoâi, chuùng ta ñaõ nhen nhoùm leân trong caùc em moät tình yeâu toaùn hoïc, moät moân hoïc ñöôïc coi laø quaù khoâ khan. Trong baøi vieát naøy toâi xin ñöa ra 2 baøi toaùn goácï ñeå giôùi thieäu caùch khai thaùc keát quaû vaø môû roâng baøi toaùn nhö theá naøo 2.Muïc ñích nghieân cöùu Ñaây laø moät ñeà taøi roäng vaø aån chöùa nhieàu thuù vò baát ngôø theå hieän roõ veû ñeïp cuûa moân hình hoïc, ñaëc bieät noù giuùp phaùt trieån khaû naêng tö duy saùng taïo cuûa hoïc sinh, neáu vaán ñeà naøy ñöôïc quan taâm thöôøng xuyeân trong daïy hoïc cuûa caùc thaày coâ giaùo thì chaéc chaén ñeà taøi seõ laø kinh nghieäm boå ích trong vieäc ñaøo taïo vaø boài döôõng ñoäi nguõ hoïc sinh khaù gioûi toaùn. Vì trong thöïc teá daïy hoïc toaùn raát nhieàu baøi toaùn maø trong khi giaûi ta coù theå tìm ñöôïc nhieàu yù töôûng hay ñoäc ñaùo ñeå töø ñoù coù theå saùng taïo neân chuoãi baøi taäp lieân quan vôùi nhau, coù theå toång quaùt hoaù baøi toaùn nhöng trong khuoân khoå cuûa baøi vieát naøy toâi chæ xin pheùp ñöa ra 2 baøi toaùn maãu ñeå minh hoaï cho 1 yù töôûng daïy hoïc toaùn ""Daïy toaùn laø daïy cho hoïc sinh bieát caùch saùng taïo toaùn"" 3.Ñoái töôïng vaø phaïm vi aùp dung: Ñeà taøi naøy ñöôïc vieát trong quaù trình daïy vaø hoïc cuûa toâi taïi tröôøng THCS Toân Quang Phieät laø 1 tröôøng troïng ñieåm cuûa huyeän neân coù nhieàu hoïc sinh coù khaû naêng tieáp thu hoïc taäp moân toaùn, hoïc sinh raát ham hoïc vaø tìm toøi caùi môùi. Vieäc theå hieän ñeà taøi khaù thuaän lôïi.
4. BAØI TOAÙN XUAÁT PHAÙT 1 :( ñeà thi HSG lôùp 9 tænh ngheä an naêm 2008) Cho ñöôøng troøn O ñöôøng kính AB vaø daây cung CD( C,D khoâng truøng vôùi A,B). Goïi M laø giao ñieåm caùc tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn taïi C,D ; N laø giao ñieåm caùc daây cung AC vaø BD. Ñöôøng thaúng qua N vaø vuoâng goùc NO caét AD,BC taïi E,F. Chöùng minh: a. MN vuoâng goùc vôùi AB b. NE = NF N' Lôøi giaûi : a.Goïi N' laø giao ñieåm cuûa AD vaø BC, thì N'N vuoâng goùc AB ta chöùng minh M thuoäc N'N. Laáy M' laø trung ñieåm N'N ta deã chöùng minh M'D vuoâng goùc DO vaø M'C vuoâng goùc CO => M' laø B' M giao ñieåm 2 tieáp tuyeán keû töø D,C => M' truøng M => MN vuoâng C goùc AB D b. CAÙCH 1.(hình 1) F Goïi B' laø ñieåm ñoái xöùng cuûa b qua N thì B'A // NO => B'A N vuoâng goùc NE => B'E vuoâng goùc AN => B'E // BF .Töø ñaây deã chöùng minh B'NE = BNF (g.c.g) => NE = NF E CAÙCH 2.(hình 2) A Keû OH vuoâng goùc AD ; OI vuoâng goùc BC B O Töø söï ñoàng daïng cuûa 2 tam giaùc: DAN vaø CBN Laïi coù caùc töù giaùc ONHE ; ONFI noäi tieáp ta suy ra: goùcNHO = goùcNEO = goùcNIO = goùcNFO => EOF caân taïi O => NE = NF Nhaän xeùt: Hình 1 Sau khi giaûi baøi toaùn toâi thaáy raèng baøi toaùn coù theå ñöôïc xaây döïng thaønh caùc baøi toaùn khaùc ôû möùc ñoä khoù hôn. N' Sau ñaây toâi xin neâu 1 soá suy nghó ñoù: HÖÔÙNG KHAI THAÙC THÖÙ NHAÁT (saùng taïo ra caùc baøi toaùn môùi vôùi giaû thieát roäng hôn) 1.TÌNH HUOÁNG1:Tröôùc khi ñöa ra baøi toaùn môùi GV caàn ñöa ra M caâu hoûi gôïi môû ñeå HS suy nghó vaø phaùt hieän vaán ñeà, ví duï nhö: C ?. Haõy xaùc ñònh xem GT naøo cuûa baøi toaùn laø giaû thieát HEÏP, coù D F theå thay baèng moät GT ROÄNG hôn nhö theá naøo? N ? vôùi GT môùi keát quaû baøi toaùn seõ nhö theá naøo? I Baøi 1.1: H Cho ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính AB. Caùc daây cung AC,BD caét E nhau taïi N. Qua N veõ ñöôøng thaúng vuoâng goùc NO, ñöôøng A B úthaúng naøy caét caùc ñöôøng thaúng AD,BC laàn löôït taïi E, F. O Chöùng minh NE = NF N' Lôøi giaûi: (Hình 3) Hình 2 E D K N C B Goïi K laø tröïc taâm AEN thì NK = NB(do AK // ON; O laø trung ñieåm AB) => EK // BF (vì cuøng vuoâng goùc vôùi AC). A O Töø ñoù ta deã chöùng minh: EKN = FBN (g.c.g) => NE = NF F Hình 3
5. 2.TÌNH HUOÁNG 2: Vôùi 1 thay ñoåi nhoû trong GT ta coù ñöôïc baøi toaùn 1.1 laø 1 baøi toaùn maïnh hôn. Baây giôø ta haõy ñeå yù ñeán vò trí cuûa ñieåm N laø giao ñieåm 2 daây cung AC ; BD Ñeå saùng taïo ra baøi toaùn môùi, ta thay GT N laø giao ñieåm cuûa AC; BD thaønh GT N laø giao ñieåm cuûa AD vaøØ BC. Vôùi GT môùi naøy ta seõ coù baøi toaùn sau: Baøi1.2: Cho ñöôøng troøn taâm (O) ñöôøng kính AB. 2 daây cung AD , BC caét nhau taïi ñieåm N ôû ngoaøi (O) Qua N keû ñöôøng vuoâng goùc vôùi NO, ñöôøng thaúng naøy caét caùc ñöôøng thaúng BD, AC laàn löôït taïi E, F Chöùng minh raèng : NE = NF B' Lôøi giaûi:(Hình 4) Laáy B' ñoái xöùng vôùi B qua N. Khi ñoù B'A // NO => B'A ⊥ NF vì B'N vuoâng goùc AF => N laø tröïc taâm cuûa B'AF => AN vuoâng goùc B'F => BE // B'F (vì cuøng vuoâng goùc vôùi AN) E Töø ñaây deã daøng chöùng minh ñöôïc: B'NF = BNE (g.c.g) N neân => NE = NF F 3.TÌNH HUOÁNG 3: Caàn chuù yù raèng trong baøi toaùn goác AB laø ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn D C neáu xem ñaây laø GT HEÏP, thì GT ROÄNG hôn laø xeùt AB nhö laø 1 daây cung baát kyø ta seõ coù 4 baøi môùi toaùn sau laø söï toång quaùt cuûa baøi toaùn 1.1 vaø baøi 1.2 A Baøi 1.3: B O Cho töù giaùc ABCD noäi tieáp ñöôøng troøn taâm (O).Caùc ñöôøng cheùo AC, BD caétnhau taïi N . Qua N veõ ñöôøng thaúng vuoâng goùc NO , ñöôøng thaúng naøy caét caùc ñöôøng thaúng AD, BC taïi E, F Hình 4 Chöùng minh NE = NF E Lôøi giaûi: (Hình 5) keû OQ vuoâng goùc AD vaø OR vuoâng goùc BC => Q,R laø trung ñieåm cuûa AD, BC. D Chuù yù raèng: DNA ñoàng daïng CNB neân suy ra DNQ ñoàng daïng CNR => goùcDQN = goùcCRN => goùcNQO = goùcNEO (1) Q N C caùc töù giaùc EQON, FRNO noäi tieáp neân: O goùcNQO = goùcNEO vaø goùcNRO = goùcNFO (2) R Töø (1) vaø (2) => goùcNEO = goùcNFO => EOF caân taïi F => NE = NF Baøi 1.4: A B Cho töù giaùc ABCD noäi tieáp ñöôøng troøn (O).Caùc ñöôøng thaúng AD, BC caét nhau taïi N ôû ngoaøi (O). Ñöôøng thaúng qua N vuoâng goùc NO caét caùc ñöôøng thaúng AC, BD taïi E,F. Hình 5 Chöùng minh: NE = NF F N F E Lôøi giaûi: (hình 6) Keû OP vuoâng goùc AC ; OQ vuoâng goùc BD khi ñoù caùc töù giaùc OQNE; OPNF D C Hình 6 noäi tieáp neân ta coù: goùcNOF = goùcNPF (1) P Q goùcNOE = goùcNQE (2) NCA ñoàng daïng NDB (g.g) laïi coù P; Q laø trung ñieåm cuûa AC; A O B BD neân => NPC ñoàng daïng NQD => goùcNQD = goùcNPC hay laø goùcNQE = goùcNPF (3). töø (1);(2);(3) => goùcNOE = goùcNOF keát hôïp vôùi NO vuoâng goùc EF ta suy ra EOF caân taïi O => NE = NF
6. Baøi 1.5: Cho töù giaùc ABCD noäi tieáp (O). Caùc ñöôøng thaúng AD, BC caét nhau tai N. Ñöôøng thaúng qua N vuoâng goùc vôùi NO caét caùc ñöôøng thaúng AB, CD taïi E, F Chöùng minh : NE = NF E N Lôøigiaûi:(Hình 7) F Keû OP vuoâng goùc AB; OQ vuoâng goùc CD khi ñoù ta coù: caùc töù giaùc OPEN; OQNF noäi tieáp C cho neân: goùcNOF = goùcNQF (1) D goùcNOE = goùcNPE (2) Q Töù giaùc ABCD noäi tieáp neân: A NCD ñoàng daïng NBA ( Goùc N chung; goùcNBA = O goùcNDC) P Hình 7 Do P; Q laø trung ñieåm cuûa AB, CD neân: B NQC ñoàng daïng NPA ( c.g.c) => goùcNQC = goùcNPA hay laø goùcNQF = goùcNPE (3) Töø (1) ; (2) ; (3) => goùcNOF = goùcNOE => EOF caân tai O, keát hôïp vôùi ON vuoâng goùc EF => NE = NF N Baøi 1.6: Cho ñöôøng troøn taâm (O). Daây cung AB I laø trung ñieåm O cuûa AB, qua I veõ caùc daây MN,PQ sao cho MP caét AB taïi P K E, NQ caét AB taïi F. L Chöùng minh : IE = IF A B Lôøi giaûi:(Hình 8) E I F Hình 8 Q Keû OL vuoâng goùc PM; OK vuoâng goùc QN khi ñoù ta coù caùc töù giaùc M OIEL; OIFK noäi tieáp => goùcOLI = goùcOEI vaø goùcOKI = goùcOFI (1) Töø söï ñoàng daïng cuûa IMP ñoàng daïng IQN vaø L;K laø trung ñieåm cuûa PM; QN neân => ILM ñoàng daïng IKQ => goùcILM = goùcIKQ => goùcOLI = goùcOKI (2) Töø (1) vaø (2) => goùcOEI goùcOFI => EOF caân tai O (3) I laø trung ñieåm AB neân OI vuoâng goùc EF (4) Töø (3) vaø (4) => IE = IF NHAÄN XEÙT: N Baèng nhöõng thay ñoåi trong GT cuûa baøi toaùn goác ta ñaõ saùng taïo theâm nhöõng baøi toaùn môùi ôû 1 cung baäc cao hôn, toång quaùt hôn. Ñöa ra nhaän xeùt naøy toâi muoán neâu leân 1 khaúng ñònh raèng moïi baøi P toaùn ñeàu baét nguoàn töø nhöõng baøi cô baûn, cuõng nhö bieån caû phaûi O baét nguoàn töø nhöõng doøng soâng. I HÖÔÙNG KHAI THAÙC THÖÙ 2:( Saùng taïo ra baøi E F A B toaùn môùi laø heä quaû cuûa baøi toaùn goác) Q Baøi 1.7: M Cho ñöôøng troøn taâm (O). Daây cung AB Hình 8b I laø trung ñieåm cuûa AB, qua I veõ caùc Lôøi giaûi:(Hình 8b) daây MN,PQ sao cho MP caét AB taïi E, Töø keát quaû cuûa baøi toaùn 1.6 ta coù: NQ caét AB taïi F. IE = IF vaø IA = IB => AE = FB vaø AF = BE (1) Chöùng minh: EM. EP = FN.FQ Töù giaùc AMBP noäi tieáp neân EM.EP = EA.EB (2) Töù giaùc ANQB noäi tieáp neân: FN.FQ = FB.FA (3) Töø (1) => EA.EB = FA.FB (4) Töø (2) ; (3) ;(4) => EM.EP = FN.FQ