Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh kẻ đường phụ trong chứng minh hình học

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh kẻ đường phụ trong chứng minh hình học

1. Phần I: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS là yêu cầu cấp thiết hiện nay. Người thầy giáo không còn là người truyền đạt kiến thức để học sinh tiếp thu thụ động, mà người thầy phải là người hướng dẫn giúp học sinh tự tìm tòi và khám phá kiến thức. Trong quá trình giảng dạy môn hình học ở trường THCS tôi nhận thấy nhiều học sinh còn lúng túng khi làm bài tập chứng minh hình học, nhất là những bài tập cần phải vẽ thêm đường phụ. Khi gặp bài tập dạng này, hầu hết học sinh hoặc là không nghĩ gì đến việc vẽ thêm đường phụ, hoặc là vẽ đường phụ một cách mò mẫm, thậm chí còn có học sinh còn vẽ thêm đường phụ sai cơ bản. Về phía giáo viên khi chữa bài tập dạng này thường chỉ nêu ra cách vẽ đường phụ, sau đó gợi ý để các em chứng minh, giáo viên chưa phân tích cặn kẽ để học sinh hiểu tại sao lại phải kẻ thêm đường phụ như vậy? Vẽ thêm đường phụ có lợi ích gì cho việc chứng minh ? Do đó học sinh phần lớn không khỏi lúng túng, thậm chí bế tắc khi gặp những bài tập mới lạ. Vấn đề định hướng cho học sinh khi vẽ đường phụ trong chứng minh hình học giúp các em dần hình thành phương pháp suy luận, phát triển tư duy lô gíc, óc tìm tòi sáng tạo thông qua việc giải các bài tập hình học là điều tôi thấy cần phải làm. Vì vậy tôi lựa chọn đề tài: " Hướng dẫn học sinh kẻ đường phụ trong chứng minh hình học " để nghiên cứu và áp dụng trong quá trình dạy học. 2. Giới hạn của đề tài a) Về nội dung, kiến thức: Đề tài chỉ đề cập đến vấn đề: " Hướng dẫn học sinh vẽ thêm đường phụ trong chứng minh hình học như thế nào cho có lợi ". Các kiến thức sử dụng trong đề tài thuộc phạm vi kiến thức hình học lớp 7 và lớp 8. b) Về đối tượng học sinh: Những bài tập hình học mà khi chứng minh cần phải vẽ thêm đường phụ đều 1
2. và khám phá không phải là những bài tập dễ. Mặt khác để dễ nắm vững các định hướng đề tài nêu ra, vận dụng được vào giải các bài tập thì đối tượng học sinh phải có trình độ môn toán đạt từ trung bình khá trở lên. c) Hạn chế của đề tài: Do thời gian nghiên cứu có hạn, năng lực của bản thân còn hạn chế nên đề tài không thể tránh khỏi có những khiếm khuyết về nội dung cũng như việc trình bày. Rất mong nhận được sự đóng góp của các thầy, cô giáo và các bạn bè đồng nghiệp.   2
3. Phần II: PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI A. TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU: Qua thực tế giảng dạy, nghiên cứu các tài liệu tham khảo bộ môn toán và ôn luyện cho học sinh THCS tôi nhận thấy: ➢ Khi chứng minh định lý hình học( trừ một số định lý dễ), phần nhiều phải vẽ thêm đường phụ mới chứng minh được. Vì đường phụ có nhiều loại, cách vẽ lại hết sức linh hoạt nên không có một phương pháp vẽ cố định, đó là một công việc khó mà học sinh gặp phải trong lúc chứng minh hình học. Vấn đề này trong sách giáo khoa cũng không đề cập đến. ➢ Vẽ thêm đường phụ trong chứng minh hình học một vấn đề không những khó đối với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán. ➢ Trước một bài tập hình học khi chưa nghĩ ra lời giải, là người giải toán cần đặt ra các câu hỏi: - Làm thế nào để có kết luận của bài toán ? - Cần phải làm gì để liên hệ với các giả thiết lại ? - Có phải kẻ thêm đường phụ không ? ➢ Qua thực tế giảng dạy và qua thực tế giải các bài tập hình học tôi thấy vấn đề: " Vẽ thêm đường phụ trong chứng minh hình học" rất hay và bổ ích. Do đó tôi muốn đưa vấn đề này ra bàn bạc, thảo luận với các bạn đồng nghiệp trao đổi, học hỏi, trau dồi phương pháp giải toán để phục vụ tốt hơn công tác giảng dạy. B. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Nghiên cứu tài liệu tham khảo ➢ Thông qua việc nghiên cứu tài liệu tham khảo, giải các bài tập, tôi đã lựa chọn một số bài tập điển hình áp dụng vào thực tiễn giảng dạy cho học sinh, qua đó rút ra bài học kinh nghiệm. ➢ Thông qua nghiên cứu các tài liệu tham khảo tôi đã học hỏi được nhiều điều, nhất là việc hoàn thiện phần lí thuyết của đề tài. 2. Nghiên cứu phương pháp giảng dạy Vận dụng phương pháp dạy học "lấy học sinh làm trung tâm" kết hợp với phương pháp phân tích đi lên trong quá trình hướng dẫn học sinh giải các bài tập hình học nhằm mục đích: 3
4. - Thông qua bài tập học sinh tự mình tìm ra kiến thức dưới sự hướng dẫn của thầy giáo. - Dưới sự dẫn dắt của thầy giáo học thấy được các kiến thức mà bản thân tự khám phá thực sự là khoa học. - Rèn luyện cho học sinh năng lực tư duy, tính sáng tạo trong học tập bộ môn toán và nghiên cứu Toán học. 3. Nghiên cứu nội dung đề tài - Xây dựng cơ sở lí thuyết - Xây dựng hệ thống bài tập chọn làm ví dụ - Lựa chọn hệ thống bài tập để học sinh luyện tập. C. NỘI DUNG I- LÝ THUYẾT 1. Mục đích của việc vẽ thêm đường phụ Khi vẽ thêm đường phụ ta thường nhằm các mục đích sau đây: - Đem những điều kiện đã cho của bài toán và những hình có liên quan đến chứng minh tập hợp (ở một hình mới), làm cho chúng có liên quan với nhau. - Tạo nên đoạn thẳng thứ ba hoặc thứ ba, làm cho hai đoạn thẳng hoặc hai góc cần chứng minh trở nên có mối liên hệ với nhau. 1 - Tạo nên đoạn thẳng hay góc bằng tổng, hiệu, gấp đôi hay đoạn thẳng hay 2 cho góc cho trước để đạt được chứng minh của bài tập hình học. - Tạo nên những đại lượng mới (đoạn thẳng hay góc) bằng nhau, thêm vào những đại lượng bằng nhau mà đề bài đã cho để giúp cho việc chứng minh. - Tạo nên một hình mới, để có thể áp dụng một định lí đặc biệt nào đó. - Biến đổi kết luận, hình vẽ làm cho bài toán trở lên dễ chưng minh hơn trước. 2. Các loại đường phụ thường vẽ Đường phụ thường có một trong các loại sau: - Kéo dài một đoạn thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý hoặc một độ dài tuỳ ý hoặc cắt một đường thẳng khác. - Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm cố định. - Từ một điểm cho trước dựng đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước. 4
5. - Dựng đường phân giác của một góc cho trước. - Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khác một góc bằng một góc cho trước. - Nếu bài ra cho hai đường tròn tiếp xúc nhau ta có thể dựng tiếp tuyến chung hoặc đường nối tâm. - Nếu có 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn thì qua 4 điểm đó có thể dựng thêm đường tròn phụ. 3. Những điểm cần chú ý khi vẽ đường phụ - Muốn đường phụ giúp ích cho việc chứng minh thì việc vẽ đường phụ phải có mục đích, không nên vẽ tuỳ tiện. Nếu không sẽ không sẽ chẳng giúp ích gì cho việc chứng minh mà còn làm cho hình vẽ thêm rối ren, khó mà tìm được lời giải đúng. - Vẽ đường phụ phải tuân theo phép dựng hình cơ bản, những đường phụ không có trong phép dựng hình cơ bản tuyệt đối không được vẽ. II- BÀI TẬP VÍ DỤ 1) Bài toán 1: Cho ABC (AB = AC). Gọi AH là đường cao của tam giác, BD là phân giác của ·ABC . Biết Aµ =1080 . Chứng minh BD = 2 AH. A D B H C a) Hướng dẫn học sinh vẽ thêm đường phụ: Để vẽ thêm đường phụ trước hết ta cần phân tích cặn kẽ đề bài để xem tại sao phải vẽ đường phụ và vẽ thêm đường phụ như thế nào ? ➢ Xuất phát từ kết luận BD = 2AH, để chứng minh BD = 2AH trong đó BD và AH không cùng nằm trên một đường thẳng, không có quan hệ đường trung bình và cạnh thứ ba, chưa có đoạn thẳng nào bằng 1 BD để chứng minh đoạn 2 thẳng đó bằng AH, cũng chưa có đoạn thẳng nào bằng 2AH để chứng minh đoạn thẳng đó bằng BD, nên không thể suy ra được BD = 2AH mà không tạo ra đường phụ (đường mới vẽ thêm). 5
6. ➢ Vấn đề đặt ra là phải vẽ thêm đường phụ như thế nào để đạt được mục đích chứng minh BD = 2AH. Đến đây phần lớn học sinh suy luận theo hai hướng: - Tạo ra đoạn thẳng mới bằng 2AH và chứng minh đoạn thẳng đó bằng BD. 1 - Tạo ra đoạn thẳng mới bằng BD và chứng minh đoạn thẳng đó bằng AH. 2 ➢ Giả sử ta đi theo hướng thứ nhất: Tạo ra đoạn thẳng mới bằng 2AH và chứng minh đoạn thẳng đó bằng BD. ➢ Đến đây lại nảy sinh vấn đề tạo ra đoạn thẳng mới như thế nào cho có lợi, để có thể liên hệ các giả thiết với nhau. Nhận thấy ABC cân tại A nên đường cao AH còn là trung tuyến và phân giác. Sử dụng kết quả AH là trung tuyến của ABC e có học sinh đã tạo đoạn thẳng mới như sau: Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho A AE = AC. Nối EB khi đó dễ thấy BE = 2AH. D Ta cần chứng minh BD = BE, điều này không mấy khó khăn. Thật vậy ta có AH // BE (tính B H C chất đường trung bình) 1080 1080 .E· AB C· AH 540 1 E· AB C· AH 540 1 2 2 1800 1080 1800 1080 Mặt khác ABC cân tại A nên :Bµ Cµ 360 Bµ Cµ 360 . 2 2 360 Xét BDC có ·ADB D· CB D· BC 360 540 2 2 Từ (1) và (2) suy ra BDE cân tại B BD = BE. Do đó BD = 2AH (đpcm) ➢ Giả sử ta đi theo hướng thứ hai: Tạo ra đoạn thẳng mới bằng 1 BD và chứng 2 minh đoạn thẳng đó bằng AH. ➢ Vấn đề là tạo ra đoạn thẳng mới như thế nào cho có lợi ? Vì có nhiều cách tạo ra đoạn thẳng bằng 1 BD như lấy trung điểm của BD; tạo ra đường trung bình 2 1 của tam giác bằng BD. Căn cứ vào giả thiết AH là trung tuyến của ABC, 2 do đó việc tạo ra đường trung bình của BDC là rất có lợi vì đã sử dụng được trung điểm H của BC. 6
7. ➢ Do đó đường phụ sẽ được tạo ra như sau: Gọi E là trung điểm của DC. Khi đó 1 HE là đường trung bình của DBC HE = BD. 2 A D e B C H Việc chứng minh HE = HA không mấy khó khăn, ta chỉ cần chỉ ra H· AE ·AEH 540 là xong (việc này dành cho bạn đọc tự chứng minh). b) Nhận xét: ➢ Khi hướng dẫn học sinh vẽ thêm đường phụ, giáo nên kết hợp thêm phương pháp phân tích đi lên . ➢ Người giáo viên không nên áp đặt suy nghĩ và cách vẽ hình của mình cho học sinh mà nên gợi ý, tạo ra tình huống có vấn đề để học sinh tự giải quyết nhằm phát huy tính sáng tạo và năng lực suy diễn của học sinh. Đôi khi có những đường phụ và lời giải mà học sinh tự nghĩ ra dưới sự định hướng của giáo viên lại là những lời giải rất hay làm cho giáo viên bất ngờ và thán phục. 2) Bài toán 2: Cho M là điểm nằm giữa hai điểm A và B. Trên cùng một mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, ta dựng các tam giác đều AMC và BMD. Gọi E và F là trung điểm của AD và BC. Chứng minh: EF = 1 CD. 2 a/ Nhận xét: ➢ Kết luận của bài toán 2 cùng dạng với kết luận của bài toán 1. Nhìn từ góc độ vẽ thêm đường phụ thì hai bài toán này cùng dạng với nhau do vậy giáo viên chỉ cần hướng dẫn như bài toán 1, tức là có 2 hướng vẽ thêm hình: 1 - Tạo ra một đoạn thẳng mới bằng CD và chứng minh đoạn đó bằng EF. 2 - Tạo ra một đoạn thẳng mới bằng 2EF và chứng minh đoạn đó bằng CD. ➢ Bản thân tôi khi giải bài tập này lần đầu tôi đã vẽ thêm hình như sau: Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MC, MD. Gọi G là trung điểm của AB. Dễ thấy IK = 1 CD do đó cần chứng minh: IK =EF. 2 7