Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh cách phân tích tìm tòi lời giải và cách khai thác bài toán tương tự

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh cách phân tích tìm tòi lời giải và cách khai thác bài toán tương tự

1. I. Đặt vấn đề: Để giải các bài toán ngoài việc nắm vững các kiến thức còn cần phải có phương pháp suy nghĩ khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân tích lũy được qua quá trình học tập, rèn luyện. Trong môn toán ở trường THCS có rất nhiều dạng bài toán chưa có hoặc không có thuật toán để giải. Đối với những bài toán ấy, giáo viên phải cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ , cách tìm tòi lời giải. Nhiệm vụ khó khăn này đòi hỏi phải có thời gian và kinh nghiệm sư phạm, phải có lòng tận tâm và phương pháp đúng đắn. Đây là những cơ hội rất tốt để trang bị dần cho học sinh một số tri thức phương pháp – phương pháp giải toán, phương pháp toán hóa. Nhằm rèn luyện và phát triển ở học sinh năng lực tư duy khoa học. Biết đề ra cho học sinh đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng học sinh . Nhất là đối với học sinh lớp 6 với cách giải bài toán thực tế. 1. Cơ sở lý luận: Toán học với tư cách là một khoa học, có 1 hệ thống kiến thức cơ bản và khả năng phát triển tư duy, sáng tạo, phát triển trí thông minh của con người. Vì vậy trong quá trình giảng dạy, toán học cần phải kích thích sự hứng thú, say mê học tập của học sinh , phải phát huy cao độ tư duy lô gíc, độc lập sáng tạo, năng lực tự học và phát triển trí thông minh ở học sinh và điều quan trọng nhất là giáo viên cần hình thành cho học sinh một con đường một cách thức giải quyết để tránh sự chán nản trong mỗi lúc khi các em gặp bài toán tương tự mà không có cách giải quyết. 2. Cơ sở thực tiễn: Trong chương trình toán 6 ở trường THCS thường có các bài toán thực tế và tìm ƯCLN, BCNN của hai hay nhiều số. Nhưng thực tế, nếu yêu cầu các em tìm ƯCLN, BCNN của hai hay nhiều số cụ thể thì các em áp dụng quy tắc, đa số là làm được. Còn khi gắn vào tìm ƯCLN, BCNN vào bài toán thực tế thì học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc tìm tòi cách giải. Nếu không có sự hướng dẫn cụ thể của giáo viên thì học sinh rất lúng túng trong việc giải các bài toán dạng này. Vì vậy trong phạm vi bài viết này, tôi đưa ra một số bài toán và cách phân tích tìm lời giải về tìm ƯCLN, BCNN trong chương trình toán 6 . ” Hướng dẫn học sinh cách phân tích tìm tòi lời giải và cách khai thác bài toán tương tự.” Mong bạn đọc tham khảo góp ý. 1
2. II. Nội dung: Dạng bài toán thực tế về tìm ƯCLN, BCNN thường đề cập đến những vấn đề xung quanh đời sống, sinh họat, lao động học tập. Phương pháp chung để và đưa về tìm ƯCLN, BCNN của các dữ kiện đã cho. Điều quan trọng là phải biết phân tích tìm dữ kiện bài toán đã cho; ẩn số là cái gì và điều kiện ẩn số là gì. Từ điều kiện đó có thể suy ra cách tìm ẩn. Sau đây là một số bài toán thực tế quy về tìm ƯCLN, BCNN của hai hay nhiều số. 1. Các bài toán về tìm ƯCLN : Bài toán 1: Một xí nghiệp có 3 phân xưởng: Phân xưởng I có 99 công nhân, phân xưởng II có 63 công nhân và phân xưởng II có 72 công nhân . Trong dịp tổng kết cuối năm, toàn xí nghiệp công nhân được chia thành từng tổ sao cho số người của 1 phân xưởng được chia đều cho mỗi tổ. Có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu tổ ? - Phân tích, tìm tòi lời giải: + ẩn số: là số tổ có thể chia được nhiều nhất + Dữ kiện: số người của 3 phân xưởng lần lượt là: 99, 63,72 + Điều kiện: số người của mỗi phân xưởng chia đều cho mỗi tổ Từ điều kiện bài toán suy ra số tổ được chia phải là ước chung của 99,63,72 Để số tổ có thể được chia nhiều nhất thì số tổ phải là ƯCLN của 99,63,72 Như vậy ta cần tìm ƯCLN của 99,63,72 - Lời giải: Gọi số tổ được chia là a Vì số người của mỗi phân xưởng chia đều cho mỗi tổ nên: a ƯC( 99,63,72 ) Để số tổ được chia là nhiều nhất thì a = ƯCLN ( 99,63,72) Ta có: 99 = 32.11 63 = 32. 7 => ƯCLN ( 99,63,72 ) = 32 = 9 72 = 32. 23 Vậy số tổ có thể được chia nhiều nhất là 9 tổ - Khai thác bài toán: Đây là dạng toán tìm tòi và mục đích của bài toán là dẫn đến tìm ƯCLN của các số cho trước. Bài toán có 3 yếu tố chính, đó là: ẩn, dữ kiện và điều kiện. Trong đó điều kiện đưa ra là để đạt mục đích của bài toán. Ta có thể thay đổi dữ kiện ( chẳng hạn là 2,4,5 phân xưởng hay những tập hợp đối tượng nào đó với số lượng phần tử thích hợp), giữ nguyên điều kiện (chia đều cho tổ hay nhóm các đối tượng) và giữ nguyên ẩn ta sẽ có những bài toán tương tự. Bài toán 2: (Tương tự bài toán 1) Đội văn nghệ của trường có 48 nam và 72 nữ về một huyện để biểu diễn. Muốn phục vụ đồng thời tại nhiều địa điểm, đội dự định chia thành các tổ gồm cả nam và nữ, số nam và nữ được chia đều vào các tổ. Có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu tổ ? khi đó mỗi tổ có bao nhiêu nam, bao nhiêu nữ ? 2
3. - Phân tích tìm lời giải: + ẩn số: là số tổ có thể được chia nhiều nhất + Dữ kiện: số nam và số nữ của lần lượt mỗi đội văn nghệ là 48 và 72 + Điều kiện: số nam và số nữ chia đều cho mỗi tổ Tương tự bài toán 1 thì số tổ có thể chia được nhiều nhất là: ƯCLN ( 48,72) Ta cần tìm ƯCLN ( 48,72) Bài toán 3: Lớp 6A có 54 học sinh, lớp 6B có 42 học sinh, lớp 6C có 48 học sinh. Trong ngày khai giảng 3 lớp cùng xếp thành một số hàng dọc như nhau để diễu hành mà không có lớp nào có người lẻ hàng. Tính số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp được? - Phân tích tìm lời giải: + ẩn số: là số hàng dọc có thể xếp được nhiều nhất + Dữ kiện: số học sinh của 3 lớp 6A,6B,6C lần lượt là: 54,42,48 + Điều kiện: số học sinh 3 lớp cùng xếp thành một hàng dọc như nhau mà không lớp nào có người lẻ hàng. Tương tự bài toán 1 thì số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp được ƯCLN của 54, 42 và 48 Như vậy ta cần tìm ƯCLN của ( 48, 54, 42) Bài toán 4: Một thùng chứa hàng có dạng hình hộp chữ nhật, chiều dài 320 cm, chiều rộng 192 cm, chiều cao 224 cm. Người ta muốn xép các hộp có dạng hình lập phương vào trong thùng chứa hàng sao cho các hộp xếp khít theo cả chiều dài, chiều rộng và chiều cao của thùng. Cạnh các hình lập phương đó có độ dài lớn nhất là bào nhiêu ? ( số đo cạnh của hình lập phương là một số tự nhiên với đơn vị là cm) - Phân tích tìm lời giải: + ẩn số: là độ dài lớn nhất của các cạnh hình lập phương + Dữ kiện: Chiều dài, chiều rộng, chiều cao của thùng là : 320, 192, 224 + Điều kiện: Xếp các hình lập phương vào thùng hàng sao cho các cạnh hình hộp lập phương là ƯCLN của: 320, 192, 224 Tương tự các bài toán trên thì độ dài lớn nhất của cạnh các hình hộp lập phương là ƯCLN của 320, 192,224 Như vậy ta cần tìm ƯCLN ( 192, 320, 224) 2. Các bài toán về tìm BCNN Bài toán 1: Tìm sô vận động viên tham gia giải bóng chuyền một huyện biết rằng số đó là số nhỏ nhất chia cho 3 dư 2, chia cho 4 dư 3, chia cho 5 dư 4, chia cho 6 dư 5, chia cho 10 dư 9. - Phân tích tìm lời giải: 3
4. + ẩn số: Số vận động viên tham gia giải bóng chuyền + Dữ kiện và điều kiện: Số đó là nhỏ nhất và khi chia số đó cho các số 3,4,5,6,10 đều có số dư . Ta thấy các số dư đều kém số chia tương ứng 1 đơn vị. Nghĩa là số đó cộng với 1 sẽ là BCNN của 3,4,5,6,10 Vậy ta cần tìm BCNN ( 3,4,5,6,10) - Lời giải : Gọi số vận động viên tham gia giải là x . Vì các số dư đều kém số chia tương ứng là 1 đơn vị nên : x+1 sẽ là BCNN của 3,4,5,6,10 Mà BCNN (3,4,5,6,10) = 60 => x+ 1 = 60 => x = 59 Vậy số vận động viên tham gia giải bóng chuyền là 59 ( vận động viên) Bài toán 2: Một bộ phận của máy có 2 bánh xe răng cưa khớp nhau, bánh xe 1 có 18 răng cưa, bánh xe 2 có 12 răng cưa. Người ta đánh dấu “x” vào hai răng cưa đang khớp với nhau. Hỏi mỗi bánh xe phải quay ít nhất bao nhiêu răng để hai răng cưa đánh dấu ấy khớp nhau ở vị trí giống lần trước ? Khi ấy mỗi bánh xe đã quay bao nhiêu vòng ? - Phân tích tìm lời giải: + ẩn số: Là số răng ít nhất mà mỗi bánh xe phải quay . + Dữ kiện: Bánh xe 1 có 18 răng cưa, bánh xe 2 có 12 răng cưa + Điều kiện: Hai răng cưa được đánh dấu khớp lại với nhau ở vị trí ban đầu. Từ điều kiện bài toán suy ra: Số răng mỗi bánh xe phải quay là BCNN của 18 và 12 để số răng cưa mà mỗi bánh phải quay là ít nhất thì ta cần tìm BCNN (18;12) Khi đó mỗi bánh xe sẽ quay bao nhiêu vòng ta lấy BCNN (18;12) chia cho số răng cưa mỗi bánh. Bài toán 3: Tại 1 bến xe cứ 10 phút lại có 1 chuyến tắc xi rời bến, cứ 12 phút lại có một chuyến xe búyt rời bến. Lúc 6 giờ, một xe tắc xi và một xe buýt cùng rời bến một lúc. Hỏi lúc mấy giờ lại có một chuyến taxi và một chuyến xe buýt cùng rời bến lần tiếp theo ? - Phân tích tìm lời giải: + ẩn số: Là thời gian mà 1 xe taxi và 1 xe buýt cùng rời bến lần tiếp theo + Dữ kiện: Cứ 10 phút lại có một xe taxi rời bến và 12 phút lại có 1 chuyến xe buýt rời bến + Điều kiện: Lúc 6 giờ có một xe taxi và 1 xe buýt cùng rời bến một lúc. Từ cách phân tích trên ta suy ra: Thời gian để 1 xe taxi và 1 xe buýt cùng rời bến lần tiếp theo là BCNN của 10 và 12. Vì là lần tiếp theo nên khoảng thời gian đó phải là nhỏ nhất. Nên khoảng thời gian cần tìm chính là BCNN của ( 12;10). Từ đó suy ra thời điểm xe tắc xi và xe buýt rời bến cùng lúc tiếp theo 4
5. Bài toán 4: Tôi nghĩ một số có 3 chữ số. Nếu bớt số tôi nghĩ đi 7 thì được số chia hêt cho 7. Nếu bớt số tôi nghĩ cho 8 thì được số chia hết cho 8. Nếu bớt số tôi nghĩ cho 9 thì được số chia hết cho 9. Hỏi số tôi nghĩ là số nào ? - Phân tích tìm lời giải: + ẩn số: Là số có 3 chữ số + Dữ kiện: nếu bớt số có 3 chữ số đó đi 7,8,9 đơn vị thì được lần lượt các số chia hết cho 7,8,9. + Điều kiện: Số có 3 chữ số sau khi bớt chia hết cho 7,8,9. Từ cách phân tích trên ta suy ra: số có 3 chữ số cần tìm chính là BCNN của 7, 8,9 . Như vậy ta cần tìm BCNN cua (7;8;9 ) 3. Một số bài toán khác: Bài toán 1: Hai bạn giỏi toán An và Bảo nói chuyện với nhau, An nói: Trong 100 số tự nhiên đầu tiên đố bạn tìm ra 2 số mà ƯCLN của chúng là lớn nhất. Bảo nói: Thế thì tôi cũng đố bạn: trong 100 số tự nhiên đầu tiên tìm ra hai số mà BCNN của chúng là lớn nhất. Cả hai bạn đều tìm đúng. Đó là những số nào ? - Phân tích tìm lời giải: Trước hết ta tìm ra hai số mà ƯCLN của chúng là lớn nhất. Để tìm hai số đó ta cần chú ý đến những số lớn nhất trong những số đã cho. Số lớn nhất trong 100 số tự nhiên đầu tiên là số 100. Mặt khác ƯCLN của hai số cũng là ước của mỗi số và 50 là ước lớn nhất của 100. Suy ra số lớn nhất trong các ƯCLN của hai số trong 100 số tự nhiên đầu tiên là 50. Vậy hai số mà bạn An đố bạn Bảo là 100 và 50. Để tìm hai số mà BCNN của chúng lớn nhất ta cần chú ý đến những số lớn nhất trong các số đã cho. Ta thấy hai số 100 và 99 là hai số lớn nhất mà chúng lại nguyên tố cùng nhau. Do đó 100 và 99 là hai số có BCNN của chúng lớn nhất. - Lời giải: Gọi hai số đó là a và b Ta thấy số lớn nhất trong 100 số tự nhiên đầu tiên là 100 Mặt khác: ƯCLN ( a,b) cũng là ước của a và cũng là ước của b. Trong 100 số tự nhiên đầu tiên thì 50 là ước lớn nhất của 100, mà 50 cũng là ước của 50 Vậy a = 50 và b = 100 Vì trong hai số tự nhiên đầu tiên ta có hai số 100 và 99 Mà ( 99; 100) = 1 Nên 99 và 100 là hai số trong 100 số tự nhiên đầu tiên có BCNN của chúng là lớn nhất. 5