Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1. Chuyeân ñeà: Moät soá phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû A / Lêi nãi ®Çu Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö lµ néi dung kiÕn thøc quan träng, lý thó, song ®ã l¹i lµ mét trong nh÷ng d¹ng to¸n khã ®èi víi häc sinh bËc THCS. Néi dung nµy ®­îc giíi thiÖu kh¸ ®Çy ®ñ trong ch­¬ng tr×nh §¹i Sè 8 vµ cã thÓ coi lµ néi dung nßng cèt cña ch­¬ng tr×nh. Bëi nã ®­îc vËn dông rÊt nhiÒu ë c¸c phÇn sau nh­: Rót gän ph©n thøc, quy ®ång mÉu thøc cña c¸c ph©n thøc, biÕn ®æi c¸c biÓu thøc h÷u tØ, biÕn ®æi c¸c biÓu thøc v« tØ, gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc cao Thùc tÕ gi¶ng d¹y cho thÊy, mÆc dï c¸c ph­¬ng ph¸p ®­îc gi¬Ý thiÖu trong SGK rÊt roõ rµng, cô thÓ. Song viÖc c¸c em vËn dông cßn nhiÒu lóng tóng. §Æc biÖt ®èi víi häc sinh kh¸ giái th× néi dung kiÕn thøc ch­a ®¸p øng ®­îc nhu cÇu häc to¸n cña c¸c em. VËy D¹y - Häc néi dung ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö nh­ thÕ nµo ®Ó ®¹t kÕt qu¶ tèt nhÊt? Phï hîp cho häc sinh ®¹i trµ? §ång thêi ®¸p øng ®­îc nhu cÇu häc tËp cña häc sinh kh¸ giái. §Ó ®¹t kÕt qu¶ ®ã, ngoµi ph­¬ng ph¸p truyÒn thô ng­êi thÇy ph¶i n¾m b¾t ®­îc kiÕn thøc mét c¸ch nhuÇn nhuyÔn. §ã chÝnh lµ lý do t«i ®­a ra ®Ò tµi nµy. Cô thÓ trong ®Ò tµi nµy, víi mçi ph­¬ng ph¸p c¬ b¶n hay ®Æc biÖt. Toâi ñeàu lµm râ: Ph­¬ng ph¸p giaûi. Bµi tËp tù luyÖn Víi néi dung vµ tr×nh bµy trong ®Ò tµi nµy, hy väng ®Ò tµi nµy kh«ng chØ lµ tµi liÖu h­íng dÉn ®èi víi häc sinh mµ cßn lµ tµi liÖu tham kh¶o bæ Ých cho c«ng t¸c gi¶ng d¹y cña gi¸o viªn c¸c tr­êng THCS. Tröôøng THCS Hoaøi Myõ Toå: Toaùn – Lyù. Trang 1
2. Chuyeân ñeà: Moät soá phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû B. Néi dung PhÇn 1: C¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö C¸c ph­¬ng ph¸p c¬ b¶n I/ Ph­¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung Ph­¬ng ph¸p . T×m nh©n tö chung lµ nh÷ng ®¬n thøc, ®a thøc cã maët trong tÊt caû c¸c h¹ng tö. Ph©n tÝch mçi h¹ng tö thµnh tÝch nh©n tö chung vµ mét nh©n tö. ViÕt nh©n tö chung ra ngoµi dÊu ngoÆc, viÕt c¸c nh©n tö cßn l¹i cña mçi h¹ng tö vµo trong dÊu ngoÆc. VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a) –3xy + x 2 y 2 – 5x 2 y b) 2x(y – z) + 5y(z – y) c) 10x 2 (x + y) – 5(2x + 2y)y 2 Bµi laøm a) 3xy + x 2 y 2 – 5x 2 y = xy(- 3 + xy – 5x) b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y) c) 10x 2 (x + y) – 5(2x + 2y)y 2 = 10x 2 (x + y) – 10y 2 (x + y) = 10(x + y)(x 2 – y 2 ) = 10(x + y)(x + y)(x – y) = 10(x + y) 2 (x – y) Bµi tËp tù luyÖn Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 12xy 2 – 12xy + 3x b) 15x – 30 y + 20z 5 c) x(y – 2007) – 3y(2007 - y) 7 d) x(y + 1) + 3(y2 + 2y + 1) Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau a) 23,45 . 97,5 +23,45 . 5,5 -,23,45 . 3 b) 2x 3 (x – y) + 2x 3 (y – x ) + 2x 3 (z – x) (Víi x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008) II) Ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc Ph­¬ng ph¸p Sö dông c¸c h»ng ®¼ng thøc ®Ó biÕn ®æi ®a thøc thµnh tÝch c¸c nh©n tö hoÆc luü thõa cña mét ®a thøc ®¬n gi¶n. Nh÷ng h»ng ®¼ng thøc : (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2 A – B = (A + B)(A – B) (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 – AB + B 2 ) A 3 - B 3 = (A - B)(A 2 + AB + B 2 ) (A + B + C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2BC + 2CA A n – B n = (A – B)(A n 1 + A n 2 B + + AB n 2 + B n 1 ) A 2k – B 2k = (A +B)(A 2k 1 - A 2k 2 B + - B 2k 1 ) A 2K 1 + B 2K 1 = (A + B)(A 2k – A 2k 1 B + A 2k 2 B 2 - +B 2k ) Tröôøng THCS Hoaøi Myõ Toå: Toaùn – Lyù. Trang 2
3. Chuyeân ñeà: Moät soá phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû n(n 1) n(n 1) (A + B) n = A n + n A n 1 B - A n 2 B 2 + + A 2 B n 2 + nAB n 1 + B n 1.2 1.2 n(n 1) (A - B) n = A n - n A n 1 B + A n 2 B 2 - +(-1) n B n 1.2 VÝ dô Ph©n tÝch ®a thøc tµnh nh©n tö a) x 2 + 6xy 2 + 9y 4 b) a 4 – b 4 c) (x – 3) 2 - (2 – 3x) 2 d) x 3 – 3x 2 + 3x - 1 Bµi Lµm a) x 2 + 6xy 2 + 9y 4 = x 2 + 2x3y 2 + (3y) 2 = (x + 3y 2 ) 2 b) a 4 – b 4 = (a 2 ) 2 – (b 2 ) 2 = (a 2 + b 2 ) (a 2 – b 2 ) = (a 2 + b 2 ) (a + b) (a – b) c) (x – 3) 2 - (2 – 3x) 2 = [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)]= (- 2x – 1)(- 5 + 4x) d) x 3 – 3x 2 + 3x - 1 = (x – 1) 3 2.2/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) a 3 + b 3 + c 3 – 3abc b) (a + b + c) 3 – a 3 – b 3 – c 3 Bµi Lµm a) a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = (a + b) 3 – 3ab(a + b) + c 3 – 3abc = ( a + b + c)[(a + b) 2 – (a + b)c + c 2 ] – 3abc( a + b +c) = (a + b + c)( a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c) 3 – a 3 – b 3 – c 3 = (a + b) 3 + c 3 + 3c(a + b)(a + b + c) – a 3 – b 3 –c 3 = 3(a + b)(ab + bc + ac + c 2 ) = 3(a + b)(b + c) (c + a) Bµi tËp tù luyÖn Bµi 3. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) (x – 15) 2 – 16 b) 25 – (3 – x) 2 c) (7x – 4) 2 – ( 2x + 1) 2 d) 9(x + 1) 2 – 1 e) 9(x + 5) 2 – (x – 7) 2 f) 49(y- 4) 2 – 9(y + 2) 2 Bµi 4. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 8x 3 + 27y 3 b) (x + 1) 3 + (x – 2) 3 c) 1 – y 3 + 6xy 2 – 12x 2 y + 8x 3 d) 2004 2 - 16 III/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, b»ng ph­¬ng ph¸p nhãm nhiÒu h¹ng tö. Ph­¬ng ph¸p Sö dông tÝnh chÊt giao ho¸n, kÕt hîp ®Ó nhãm c¸c h¹ng tö thÝch hîp vµo tõng nhãm. AÙp dông ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc kh¸c ®Ó gi¶i to¸n. 2. VÝ dô 2.1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Tröôøng THCS Hoaøi Myõ Toå: Toaùn – Lyù. Trang 3
4. Chuyeân ñeà: Moät soá phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû a) x 2 – 3xy + x – 3y b) 7x 2 – 7xy – 4x + 4y c) x 2 + 6x – y 2 + 9 d) x 2 + y 2 – z 2 – 9t 2 – 2xy + 6zt Bµi Lµm a) x 2 – 3xy + x – 3y = (x 2 – 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)= (x – 3y) (x + 1) b) 7x 2 – 7xy – 4x + 4y = (7x 2 – 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y)=(x – y) (7x – 4) c)x 2 + 6x – y 2 + 9 = (x 2 + 6x + 9) – y 2 = (x + 3) 2 - y 2 = (x + 3 + y)(x + 3 – y) d)x 2 + y 2 – z 2 – 9t 2 – 2xy + 6zt = (x 2 – 2xy + y 2 ) – (z 2 – 6zt + 9t 2 ) = (x – y) 2 – (z – 3t) 2 = (x – y + z – 3t)(x – y – z + 3t 2.2/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 2xyz b) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 3xyz Bµi Lµm a) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 2xyz = (x 2 z + y 2 z + 2xyz) + x 2 y + xy 2 + xz2 + yz 2 = z(x + y) 2 + xy(x + y) + z 2 (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z 2 ) = (x + y) [(xz + xy) + (yz + z 2 )] = (x + y) [x(z + y) + z(z + y)] = (x + y)(y + z)(x + z) b) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 3xyz = (x 2 y + x 2 z + xyz) + ( xy 2 + y 2 z + xyz) + (x 2 z + yz 2 + xyz) = x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy) = (xy + yz + xz)( x + y + z) 3. Bµi TËp Bµi 5: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x 4 + 3x 2 – 9x – 27 b) x 4 + 3x 3 – 9x – 9 c) x 3 – 3x 2 + 3x – 1 – 8y 3 BµI 6: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x(y2 – z2) + y(z2 – y2) + z(x2 – y2) b) xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z ) c) x(y + z )2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 – 4xyz d) yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y) IV/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch phèi hîp nhiÒu ph­¬ng ph¸p 1. Ph­¬ng ph¸p VËn dông linh ho¹t c¸c ph­¬ng ph¸p c¬ b¶n ®· biÕt vµ th­êng tiÕn hµnh theo tr×nh tù sau : - §Æt nh©n tö chung - Dïng h»ng ®¼ng thøc - Nhãm nhiÒu h¹ng tö 2. Ví dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 5x 3 - 45x b) 3x 3 y – 6x2y – 3xy 3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy Tröôøng THCS Hoaøi Myõ Toå: Toaùn – Lyù. Trang 4
5. Chuyeân ñeà: Moät soá phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû Bµi lµm a) 5x 3 – 45x = 5x(x2 – 9) = 5x(x +3) (x – 3) b) 3x2y – 6x2y – 3xy 3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy [( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy [(x – 1) 2 – (y + a) 2] = 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)] = 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1) 3. Bµi tËp Bµi 7. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc b) 8x 3 (x + z) – y 3 (z + 2x) – z 3 (2x - y) c) [(x2 + y2)(a2 + b2) + 4abxy] 2 – 4[xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)] 2 Bµi 8. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (x + y + z) 3 – x 3 – y 3 - z 3 H­íng dÉn (x + y + z ) 3 – x 3 – y 3 - z 3 =[(x + y + z) 3 – x 3 ] – (y 3 + z 3 ) = (x + y + z – x) [(x+ y + z) 2 + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 – yz + z2) = (y+z)[ x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x2 + x2 – y2 + yz – z2] = (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz) = 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)] = 3( x + y)(y + z)(x + z) V/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch t¸ch mét h¹ng tö thµnh hai hay nhiÒu h¹ng tö 1. Ph­¬ng ph¸p Ta ph©n tÝch mét h¹ng tö thµnh tæng cña nhiÒu h¹ng tö thÝch hîp, ®Ó xuÊt hiÖn nh÷ng nhãm sè h¹ng mµ ta cã thÓ ph©n tÝch thµnh nh©n tö b»ng ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc, ®Æt nh©n tö chung 2. VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh thµnh nh©n tö x2 – 6x + 8 Bµi lµm Caùch 1: x2 – 6x + 8 = (x2 – 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2)(x – 4) Caùch 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3) 2 – 1 = (x –3 + 1)(x – 3 – 1) = (x – 2)(x – 4) Caùch 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + 2 – 6) = (x – 2)(x – 4) Caùch 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(x + 4 –6) = (x –4)(x – 2) Caùch 5: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4x + 4) – 2x + 4 = ( x – 2) 2 – 2(x – 2)= (x – 2)(x – 2 – 2) = (x – 2)(x – 4) 3. Bµi tËp Bµi 9 : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x2 + 7x +10 b) x2 – 6x + 5 c) 3x2 – 7x – 6 d) 10x2 – 29x + 10 Bµi 10: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x 3 + 4x2 – 29x + 24 b) x 3 + 6x2 + 11x + 6 c) x2 – 7xy + 10y Tröôøng THCS Hoaøi Myõ Toå: Toaùn – Lyù. Trang 5
6. Chuyeân ñeà: Moät soá phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû d) 4x2 – 3x – 1 VI/ Ph­¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö. Ph­¬ng ph¸p Ta thªm hay bít cïng mét h¹ng tö vµo ®a thøc ®· cho ®Ó lµm xuÊt hiÖn n nhãm sè h¹ng mµ ta cã thÓ ph©n tÝch ®­îc thµnh nh©n tö chung b»ng c¸c ph­¬ng ph¸p: §Æt nh©n tö chung, dïng h»ng ®¼ng thøc, VÝ dô Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. x 4 + 64 = x 4 + 64 + 16x 2 – 16x 2 = (x 2 + 8) 2 – (4x) 2 = (x2 + 4x + 8)(x 2 – 4x + 8) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x 4 + 4y 4 b) x 5 + x + 1 Bµi lµm a) x 4 + 4y 4 = x 4 + 4y 4 + 4x 2 y 2 – 4x 2 y 2 = (x + 2y)2 – (2xy)2 = (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy) b) x 5 + x + 1 = (x 5 + x 4 + x 3 ) – (x 4 + x 3 + x 2 ) + (x 2 + x + 1) = x 3 (x 2 + x + 1) – x 2 (x 2 + x + 1) + (x 2 + x +1) = (x 2 + x + 1)(x 3 – x 2 +1) Bµi tËp Bµi 11: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x 5 + x 4 + 1 b) x 8 + x 7 + 1 c) x 8 + x + 1 d) x 8 + 4 Bµi 12: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x 3 + 5x 2 + 3x – 9 b) x 3 + 9x 2 + 11x – 21 c) x 3 – 7x + 6 Bµi 13: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x 3 - 5x 2 + 8x – 4 b) x 3 – 3x + 2 c) x 3 – 5x 2 + 3x + 9 d) x 3 + 8x 2 + 17x + 10 e) x 3 + 3x 2 + 6x + 4 Bµi 14: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x 3 – 2x – 4 b) 2x 3 – 12x 2 + 7x – 2 c) x 3 + x 2 + 4 d) x 3 + 3x 2 + 3x + 2 e) x 3 + 9x 2 + 26x + 24 f) 2x 3 – 3x 2 + 3x + 1 g) 3x 3 – 14x 2 + 4x + 3 Tröôøng THCS Hoaøi Myõ Toå: Toaùn – Lyù. Trang 6