Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh chuyên sâu về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh chuyên sâu về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

1. PhÇn I: Lý DO CHäN §Ò TµI Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng cao, nó giúp cho học sinh khả năng tính toán, suy luận logíc và phát triển tư duy sáng tạo. Việc dạy học sinh học toán không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện kỹ năng và thói quen suy nghĩ tìm tòi lời giải của một bài toán và vận dụng bài toán đó trên cơ sở các kiến thức đã học. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y bé m«n to¸n nãi chung vµ to¸n 7 nãi riªng, t«i thÊy phÇn kiÕn thøc vÒ tû lÖ thøc vµ d·y tû sè b»ng nhau lµ hÕt søc c¬ b¶n trong ch­¬ng tr×nh §¹i sè líp 7. C¸c d¹ng to¸n vÒ tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau rÊt phong phó vµ ®a d¹ng nh­ng trong s¸ch gi¸o khoa, s¸ch gi¸m kh¶o l¹i trình bày nội dung không nhiều mµ c¸c kú thi häc sinh giái to¸n 7 th× hÊu nh­ ®Ò nµo còng cã. Trong ch­¬ng II, khi häc vÒ ®¹i l­îng tû lÖ thuËn, tû lÖ nghÞch ta thÊy tû lÖ thøc lµ mét ph­¬ng tiÖn quan träng gióp ta gi¶i to¸n. Trong ph©n m«n H×nh häc, ®Ó häc ®­îc ®Þnh lý Talet, tam gi¸c ®ång d¹ng th× kh«ng thÓ thiÕu kiÕn thøc vÒ tû lÖ thøc. MÆt kh¸c khi häc tû lÖ thøc vµ tÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng nhau cßn rÌn t­ duy cho häc sinh rÊt tèt gióp c¸c em cã kh¶ n¨ng khai th¸c bµi to¸n, lËp ra bµi to¸n míi. Với mong muốn được góp một phần công sức nhỏ của mình trong việc bồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh hiện nay và cũng nhằm rèn luyện khả năng sáng tạo trong học toán cho học sinh để các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạo của mình, nhằm góp phần vào công tác chăm lo bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi toán, tôi xin cung cấp và trao đổi cùng đồng nghiệp đề tài kinh nghiệm: " Gióp häc sinh chuyªn s©u vÒ tØ lÖ thøc, tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau" Do ®iÒu kiÖn cã nhiÒu h¹n chÕ nªn sau ®©y t«i xin ®­a ra mét sè d¹ng to¸n th­êng gÆp víi néi dung b¾t ®Çu tõ bµi to¸n c¬ b¶n, t«i thay ®æi gi¶ thiÕt cña bµi to¸n ®Ó ®­îc bµi to¸n míi, t«i thÊy vËn dông vµo qu¸ tr×nh «n tËp vµ båi d­ìng häc sinh giái cho häc sinh khèi 7 phÇn tØ lÖ thøc, tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau lµ rÊt phï hîp. 1
2. n n a c a c * Víi n N. b d b d B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG I: TÌM Sè H¹NG TRONG TỈ LỆ THỨC. A. Phương pháp chung: +) Dạng bài tập này các em gặp rất nhiều, nó rất phong phú và đa dạng. Bài, cũng có khi chỉ cho 1 dữ kiện, nhưng thường cho 2 dữ kiện. Từ những mối quan hệ đó ta có thể tìm được đáp án của bài, nhưng cũng có thể phải biến đổi rồi mới sử dụng được. +) Lưu ý đến dấu của số cần tìm trong trường hợp có số mũ chẵn hoặc tích của 2 số, để tránh tìm ra số không thoả mãn yêu cầu của bài. Cũng lưu ý các trường hợp có thể xảy ra để không bỏ xót những giá trị cần tìm. B. Bài tập áp dụng : Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b) 0,52 : x = - 9,36 : 16,38 HD : Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia , nhưng để áp dụng tính chất tỷ lệ thức thì từ 0,52 : x = - 9,36 : 16,38 x. 9,36 0.52.16,38 0,52.16,38 x 0,91 9,36 Ta có thể nâng mức độ khó hơn như sau : Bài tập 1. 2 Tìm x : 1 2 3 2 a) x : 1 : 3 3 4 5 1 2 b) 0,2 :1 : 6x 7 5 3 có thể đưa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x. Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 – a) x 60 15 x x 60 Giải : từ x.x 15 . 60 x2 900 x2 302 15 x Suy ra x = 30 hoặc x = -30 Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống nhau nên ta x 1 60 đưa về luỹ thừa bậc hai . có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức 15 x 1 Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức x 3 5 5 x 7 Giải: 3
3. x y T×m hai sè x vµ y biÕt và x + y = 16 3 5 * Đây là bài toán đơn giản có thể áp dụng trực tiếp tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải hoặc giải theo một số cách khác. Gi¶i: Cách 1 : Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: x y x + y 16 = = = 2 3 5 3 + 5 8 x = 3. 2 = 6 y = 5. 2= 10 Cách 2: (Đặt ẩn phụ) x y Đặt k , suy ra : x 3k , y 5k 3 5 Theo giả thiết: x y 16 3k 5k 16 8k 16 k 2 x = 3. 2 = 6 Do đó: y = 5. 2= 10 Cách 3: ( phương pháp thế ) x y 3y Từ giả thiết x 3 5 5 3y mà x y 16 y 16 8y 80 y 10 5 3.10 Do đó: x 6 5 Nhận xét : Với cách 2 và cách 3 ta có thể áp dụng để giải hầu hết các bài toán về ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau, tuy nhiªn trong qu¸ tr×nh gi¶i bµi tËp cô thÓ c¸c em cã thÓ chän lùa ph­¬ng ph¸p gi¶i phï hîp nhÊt víi bµi. x 3 Bµi to¸n 1.1: Tìm hai số x và y biết = và x+ y = 16 y 5 Với bài toán này Học sinh cũng có thể giải theo phương pháp thế. Nhưng để giải x 3 x y theo cách 1 hoặc cách 2 thì phải đổi y lên trên “ tử ” : = y 5 3 5 Bµi to¸n 1.2: Tìm hai số x và y biết 5x = 3y và x+ y = 16 Bài này có thể áp dụng phương pháp thế, hoặc đặt ẩn phụ để giải . Tuy nhiện học sinh chỉ cần áp dụng tính chất 2 của tỉ lệ thức để chuyển 5x = 3y thành dãy tỉ số x y bằng nhau. là bài toán trở thành bài toán 1 3 5 5
4. x y z Cách 2 :( Đặt ẩn phụ ) Đặt k , ta có x 2k; y=3k; z=4k . 2 3 4 Vì x + y + z = 36 nên 2k + 3k + 4k = 36 9k 36 k = 4 Suy ra x 2.4 8 ; y 3.4 12 ; z 4.4 16 VËy: x= 8, y= 12, z= 16. Cách 3: ( Dùng phương pháp thế ): x y z 2 4 Tõ suy ra: x y ; z y 2 3 4 3 3 2 4 2y 3y 4y Tõ ®ã ta cã ta cã : y y y 36 36 y 12 3 3 3 Suy ra x 8; z 16 H­íng ph¸t triÓn cña bµi to¸n 1.5 còng t­¬ng tù nh­ bµi to¸n 1 nh­ng víi ba ®¹i l­îng x, y, z ®ßi hái häc sinh ph¶i cã h­íng suy luËn cao h¬n. Gi÷ nguyªn d÷ kiÖn thø hai cña bµi to¸n 1.5 vµ thay ®æi d÷ kiÖn thø nhÊt , ta cã c¸c bµi to¸n sau: ( các bai toán từ 1.6 đến 1.24 hầu hết đều áp dụng được cách giải theo phương đặt ẩn phụ hoặc phương pháp thế, nhưng để áp dụng tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nên đề tài không đưa hai cách này vào) x y z Bµi to¸n 1.6 : Tìm ba số x, y, z, biết rằng: ; x và vµ x + y + z = 36 2 3 2 Hướng dẫn: ở bài toán này chưa cho ta một dãy tỉ số bằng nhau. Vậy để xuất hiện x x một dãy tỉ số bằng nhau ta làm thề nào? Ta thấy và x có hai số hạng trên 2 1 giống nhau, vậy làm thế nào để hai tỉ số này có cùng số hạng dưới ( ta tìm một tỉ số trung gian để được xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau x y Ta có 2 3 z x z 1 mà x ( nhân cả hai vế với ) 2 2 4 2 x y z vậy . 2 3 4 Và bài toán trở về bài toán 1.5 Bµi to¸n 1.7 : T×m x, y, z biÕt 3x = 2y; 2x = z vµ x + y+ z = 36 Gîi ý : Bµi to¸n nµy kh¸c g× so víi bµi to¸n tr­íc ? H·y biÕn ®æi 2 ®¼ng thøc 3x = 2y; 2x = z thµnh d·y tØ sè b»ng nhau ? x y Hướng dẫn: Tõ 3x 2y 2 3 x z Tõ 2x = z 4x 2z 2 4 x y z Suy ra sau ®ã gi¶i nh­ bµi tËp 1.5 2 3 4 7
5. 5x 3z 3y 6x 2z 4y Bµi to¸n 1.11: T×m x, y, z biÕt vµ x +y +z = 36 x y z Hướng dẫn: ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã 5x 3z 3y 6x 2z 4y 5x 3z 3y 6x 2z 4y x y z 1 x y z x y z x y z 6x 3z ;4y 6x ;3z 4y Hay 6x = 4y = 3z sau ®ã gi¶i tiÕp nh­ bµi tËp 1.8 Cã thÓ ra bµi tËp 1.11 d­íi d¹ng gép hai ®iÒu kiÖn l¹i mét nh­ sau : 5x 3z 3y 6x 2z 4y 36 Bµi to¸n 1.12: T×m x, y, z biÕt x y z x y z Bµi chØ cho d·y tØ sè b»ng nhau chø kh«ng cho thªm mèi quan hÖ kh¸c nh­ nh÷ng bµi tr­íc, häc sinh thÊy míi l¹. VËy th× lµm thÕ nµo? LiÖu cã lµm xuÊt hiÖn mèi quan hÖ kh¸c tõ d·y tØ sè b»ng nhau kh«ng? Hướng dẫn: ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã 5x 3z 3y 6x 2z 4y 5x 3z 3y 6x 2z 4y x y z 1 x y z x y z x y z 6x 3z ;4y 6x ;3z 4y và x +y +z = 36 Bài to¸n trë vÒ Bµi to¸n 1.11 2x 1 3y 2 2x 3y 1 Bµi to¸n 1.12: T×m x, y, z biÕt : 5 7 6x ( Đề thi HSG huyện Thanh Ch­¬ng môn toán 7 năm học 2008 – 2009 ) HD : Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau từ 2 tỷ số đầu ta có: 2x 1 3y 2 2x 3y 1 2x 3y 1 2x 3y 1 . Kết hợp với giả thiết 5 7 12 12 6x + Nếu: 2x 3y 1 0 6x 12 x 2 Thay vào tính được y 3 2 1 + Nếu: 2x 3y 1 0 2x 1 3y Thay vào 2 tỷ số đầu tính được y , x 3 2 Gi÷ nguyªn d÷ kiÖn thø nhÊt cña bµi to¸n 1.5 vµ thay ®æi d÷ kiÖn thø hai , ta cã c¸c bµi to¸n sau: x y z Bµi to¸n 1.13: T×m 3 sè x, y, z biÕt vµ 2x + 3y – 5z = -28 2 3 4 Gîi ý: x y z §Ó ¸p dông ®­îc 2x+3y-5z = - 28 th× trªn “tö” cña c¸c tØ sè , , ph¶i xuÊt hiÖn 2 3 4 thªm c¸c thõa sè nµo ?( Trªn tö ph¶i xuÊt hiÖn c¸c tÝch 2x , 3y và 5z ) 9
6. x2 16 4 x 8 x2 y2 z2 x2 y2 z2 464 y2 16 16 y 12 . 4 9 16 4 9 16 29 9 z 16 z2 16 16 VËy tån t¹i 2 cÆp gi¸ trÞ (x, y, z) thỏa m·n ®Ò bµi lµ: ( x= 8; y=12; z= 16) vµ (x= - 8; y= -11; z = - 16) x y z Bµi to¸n 1.16: T×m 3 sè x, y, z biÕt vµ 2x2 3y2 5z2 720 2 3 4 x y z Qua bài tập trên học sinh đã biết b×nh ph­¬ng c¸c tØ sè , , ®Ó ®­îc d·y tØ sè 2 5 3 x2 y2 z2 b»ng nhau míi . Đến đây các em làm xuất hiện các hệ số 2, 3 ,5 một 4 9 16 cách phù hợp để áp dụng 2x2 3y2 5z2 720 . Gi¶i: x y z x2 y2 z2 2x2 3y2 5z2 Tõ suy ra 2 3 4 4 9 16 8 27 80 2x2 3y2 5z2 2x2 3y2 5z2 720 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: 16 8 27 80 8 27 80 45 Suy ra x2 16 x2 64 x 8 4 y2 16 y2 144 y 12 9 z2 16 z2 256 z 16 16 VËy x= 8; y = 12; z = 16 hoÆc x = - 8; y = -12; z = -16. ( v× x, y, z cïng dÊu ) Tæng qu¸t lªn ta cã bµi tËp : x y z Bµi tËp 1.17 : T×m x, y, z biÕt vµ mx k ny k pz k d a b c Víi a,b,c,d,m,n, p,d,k 0 lµ c¸c sè cho tr­íc vµ k N sao cho mak nbk pck 0 Ph­¬ng ph¸p gi¶i nh­ sau: x y z mx k ny k pz k Tõ a b c ma k nb k pc k mx k ny k pz k ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau cho d·y tØ sè ta ®­îc: ma k nb k pc k mx k ny k pz k mx k ny k pz k d ma k nb k pc k ma k nb k pc k ma k nb k pc k 11
7. Bµi to¸n 1.22: Cho : 2000x = 5000y = 10000z vaø x – 2y + 5z = 12. Tìm x, y ,z ? (GVDG huyÖn Thanh Ch­¬ng n¨m häc 2008–2009;T©n Kú n¨m häc 2009–2010 ) Bài này để áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , học sinh sẽ có suy nghĩ việc đổi 2000x = 5000y = 10000z về dãy tỉ số bằng nhau, và bài làm tương tự Bµi to¸n 1.21 Giải tóm tắt : x y Ta có 2000x = 5000y = 10000z z 5 2 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã x y 2y 5z x 2y 5z 12 z 2 5 2 4 5 5 4 5 6 Tõ ®ã t×m ®­îc x = 10; y = 4; z = 2 . 2x 3y 4z Bµi to¸n 1.23: T×m x, y,z biÕt: vµ 2x + 3y – 5z = 18; 3 4 5 ( §Ò thi Häc Sinh giái To¸n 7 Thµnh Phè Vinh n¨m 2013 ) ë ®©y v× d·y tØ sè ®· cho cã d¹ng kh«ng thuËn tiÖn cho viÖc ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau. VËy lµm thÕ nµo ®Ó sö dông d·y tØ sè b»ng nhau ®· cho cho phï hîp. Gîi ý: Ta nªn ta chia c¸c tØ sè ®ã cho BCNN cña c¸c hÖ sè cña tö sè Gi¶i: 2x 3y 4z x y z Tõ 3 4 5 18 16 15 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta ®­îc: x 2.18 36 x y z 2x 3y 5z 18 2 y 2.16 32 18 16 15 36 48 75 9 z 2.15 30 TiÕp tôc khai th¸c Bµi to¸n 1.19 , thay d÷ kiÖn 2x + 3y – 5z = -28 thµnh d÷ kiÖn 2x2 3y2 5z2 720 ta cã bµi to¸n míi khã h¬n nh­ sau: Bµi to¸n 1.24: Cho 3x=2y ;4y=3z vµ 2x2 3y2 5z2 720 , t×m x,y,z. ë bµi to¸n nµy häc sinh ®· biÕt c¸ch biÕn ®æi 3x = 2y ;4y = 3z thµnh d·y tØ sè x y z b»ng nhau . 2 3 4 §ến đây giải như bài toán 1.16 13
8. * x.y.z = g + Thay ®æi c¶ hai ®iÒu kiÖn Bài tập tự giải Bµi 1: T×m x,y,z. x y y z a) ; , x y z 78 2 3 5 4 x 1 y 2 z 3 b) , x 2y 3z 14 2 3 4 Bµi 2: T×m x1, x2, x3, , x9 biÕt r»ng: = = = = vµ x1 + x2 + x3 + + x9 = 90 Bµi 3: T×m x, y,z biÕt: x y z x y z a) vµ x 2 2 y 2 4 z 2 141 b) vµ 2x 2 y 2 3z 2 77 3 4 5 3 4 5 Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng: x 1 y 2 z 3 a) 3x 2y , 7y 5z và x y z 32 b) và 2x 3y z 50 2 3 4 x y z c) 2x 3y 5z và x y z 95 d) và xyz 810 2 3 5 y z 1 z x 2 x y 3 1 e) f) 10x 6y và 2x 2 y 2 28 x y z x y z DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC A . Phương Pháp : A C Để chứng minh tỉ lệ thức: ta thường dùng một số phương pháp cơ bản sau: B D Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số A và C có cùng giá trị. B D Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức: Dïng c¸c tÝnh chÊt cña tû lÖ thøc rồi ho¸n vÞ c¸c sè h¹ng và dùng tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau, tÝnh chÊt cña ®¼ng thøc ®Ó biÕn ®æi tû lÖ thøc ®· cho ®Õn tû lÖ thøc ph¶i chøng minh Một số kiến thức cần chú ý: a na +) (n 0) b nb 15
9. a b c d (§pcm). a c NhËn xÐt : c¸c bµi to¸n vÒ chøng minh tØ lÖ thøc cã rÊt nhiÒu c¸ch gi¶i vµ ®Òu cã h­íng ®i chung nh­ c¸c c¸ch gi¶i bµi to¸n 2 . Tương tự bài toán 2 ta có bài toán sau: a c Bµi to¸n 2 .1: Cho a, b, c, d 0; a b; c d . Tõ tØ lÖ thøc = h·y suy ra tØ lÖ b d a b c d a c thøc: a) b) a c a b c d ( Bài 35 trang 22 – 400 bài tập toán 7 – Nhà xuất bản giáo dục ) *Bµi to¸n 2 vµ bµi to¸n 2.1 ®­îc xem nh­ c¸c tÝnh chÊt quan träng cña tØ lÖ thøc. a c Bµi to¸n 2.2 : Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc = (a - b 0 vµ c - d 0) b d a b c d ta cã thÓ suy ra tØ lÖ thøc a b c d ( Bµi tËp 63 SGK To¸n 7-tËp 1- trang 31 ) Høng dÉn : a b c d Tr­íc hÕt cÇn quan s¸t tØ lÖ thøc cÇn chøng minh cã phÐp to¸n céng a b c d ë trªn vµ phÐp to¸n trõ ë d­íi nªn ph¶i biÕt chuyÓn tØ lÖ thøc cÇn chøng minh vÒ tØ lÖ thøc nµo mµ ¸p dông ®­îc tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau? a b c d a b a b ( ) a b c d c d c d a c a b a b Gi¶ thiÕt cho = mµ cÇn chøng minh ,VËy ph¶i biÕn ®æi gi¶ thiÕt b d c d c d a c a b thµnh d¹ng nµo ? ( ) b d c d Gi¶i : a c a b Từ giả thiết: b d c d Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b a b a b a b c d (đpcm) c d c d c d a b c d Hoàn toán tương tự bài toán trên ta có bài toán sau : a c Bµi to¸n 2.3 :Cho tỉ lệ thức a b 0,c d 0 b d 17
10. Tõ Bài to¸n 2.5 ta cã thÓ ®­a ra bµi to¸n tæng qu¸t sau: a c Bµi to¸n 2.7: Chøng minh r»ng: Tõ tØ lÖ thøc = ta cã thÓ suy ra c¸c tØ lÖ thøc: b d ( Giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa ) pa pb pc pd pa pb pc pd a) ; b) a c pa pb pc pd pa qb pc qd pak qbk pck qd k c) ; d) ma nb mc nd mak nbk mck nd k Ở Bài toán 2.2 nếu ta cho d =a suy ra a2 bc ta có bài toán sau : a b c a Bài toán 2.8: Chứng minh rằng: Nếu a2 bc thì a b c a Giải tóm tắt: a b a b a b a b a b c a Ta có: a2 bc c a c a c a c a a b c a Bài toán 2.9: Cho 4 sè kh¸c 0 lµ a1,a2 ,a3 ,a4 2 3 3 3 3 tho¶ m·n a2 a1a3;a3 a2a4 ; a1 a 2 a 3 0 3 3 3 a1 a2 a3 a1 chøng tá 3 3 3 a2 a3 a4 a4 ( Bµi 58 trang 46-s¸ch 500 bµi to¸n c¬ b¶n vµ n©ng cao to¸n 7) Gi¶i: a a a a a 2 a a 1 2 (1) a 3 a a 2 3 (2) Tõ 2 1 3 3 2 4 a2 a3 a3 a4 a a a a 3 a 3 a 3 a a a a 1 2 3 1 2 3 1  2  3 1 (3) Tõ (1) vµ (2) suy ra 3 3 3 a2 a3 a4 a2 a3 a 4 a2 a3 a4 a4 3 3 3 3 3 3 a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 3 ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: 3 3 3 3 3 3 (4) a 2 a 3 a 4 a 2 a 3 a 4 a3 a3 a3 a 1 2 3 1 Tõ (3) vµ (4) suy ra: 3 3 3 a 2 a 3 a 4 a4 T­¬ng tù bµi tËp 2.9 Häc sinh dÔ dµng gi¶i bµi tËp sau: 3 a b c a b c a Bài toán 2.10: Cho chøng minh r»ng b c d b c d d (Bài 64 – N©ng cao vµ ph¸t triÓn to¸n 7) Từ bài toán này ta có thể dễ dàng cho học sinh làm bài toán sau : a b a (a b)2 Bài toán 2.11 Cho : chứng minh b c c b c 2 19