Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học - Bạch Long Hùng

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học - Bạch Long Hùng

1. SKKN: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 UBND HUYỆN ĐỨC TRỌNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI Độc lập – Tự do – Hạnh phúc Liên Nghĩa, ngày 12 tháng 12 năm 2017 BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC HIỆN GIẢI PHÁP HỮU ÍCH NĂM HỌC 2017- 2018 Phần I: Mở đầu 1. Họ và tên tác giả: Bạch Long Hùng. 2. Chức vụ: Giáo viên. 3. Đơn vị công tác: THCS Nguyễn Trãi 4. Lý do chọn đề tài: Trong thời kỳ đổi mới hiện nay vấn đề đổi mới phương pháp dạy học Toán ở bậc THCS là nhiệm vụ hàng đầu đối với nghành giáo dục. Việc vận dụng đổi mới phương pháp dạy học Toán trong các năm qua của giáo viên ở mỗi trường có những thành công và hạn chế khác nhau. Nhất là việc dạy học phân môn hình học có nhiều vấn đề còn nhiều vướng mắc và trừu tượng. Chính vì thế, hơn 1 năm học qua tôi đã tìm hiểu thực trạng, nguyên nhân khiến cho nhiều học sinh học yếu và không đam mê phân môn hình học và giải pháp khắc phục. Từng bước tôi đã vận dụng các giải pháp mà mình tìm được và thấy hiệu quả học tập của học sinh có nâng dần hơn. Đối với học sinh THCS, có những bài toán mà nếu không biết sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh thì việc giải bài toán đó sẽ gặp nhiều khó khăn. Bởi vậy khi dạy phần diện tích đa giác, tôi cũng rất quan tâm đến vấn đề này, mỗi khi có điều kiện để nêu ra cho học sinh , tôi đều không bỏ qua. Học sinh THCS đã biết sử dụng công thức diện tích để tính toán vì các em đã được làm quen từ Tiểu học. Nhưng làm thế nào để HS biết sử dụng chúng để chứng GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi.1
2. SKKN: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 một số giải pháp nhỏ khi giải bài tập bằng cách ứng dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học. 2. Những giải pháp để khắc phục hạn chế, tồn tại: Các bài toán hình học sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh ở trung học cơ sở đa số nằm trong chương trình hình học lớp 8. Đây là một trong những phương pháp rất hiệu quả trong việc bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh. Khi dạy nội dung này tôi chia làm các phần sau: Phần 1: Chứng minh các công thức diện tích. Phần 2: Chứng minh các bổ đề và các định lý: - Định lý Talet. - Tính chất đường phân giác của tam giác. Phần 3: Ứng dụng vào giải các bài tập cụ thể. Phần 1: Giới thiệu và chứng minh các công thức diện tích. 1.1.Khái niệm và tính chất diện tích đa giác: + Số đo của phần mặt phẳng giới hạn bởi một đa giác được gọi là diện tích đa giác đó. + Diện tích đa giác có các tính chất sau: - Tính chất 1: Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau. - Tính chất 2: Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó. - Tính chất 3: Nếu chọn hình vuông có cạnh bằng 1cm, 1dm, 1m, làm đơn vị đo diện tích thì đơn vị diện tích tương ứng là: 1cm2, 1dm2, 1m2, 1.2. Công thức diện tích hình chữ nhật: S = a.b ( a;b là hai kích thước của hình chữ nhật) Chứng minh: Ta xét trường hợp a và b là các số nguyên dương. Giả sử: a = 7; b = 4 đơn vị dài. Chia các cạnh hình chữ nhật b thành 7 và 4 đoạn bằng nhau. 1 a Qua các điểm chia vẽ các đường thẳng GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi.3
3. SKKN: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 1 Ta có: SBHA = AH.BH (diện tích tam giác vuông) 2 1 SCHA = AH.CH (diện tích tam giác vuông) 2 1 1 Vậy SABC = ( BH + HC). AH = BC.AH 2 2 b/ Điểm H nằm ngoài đoạn thẳng BC (Hình b) Giả sử C nằm giữa B và H. Trong trường hợp này , có thể xem BHA được chia thành 2 tam giác ABC và AHC không có điểm chung trong. Do đó: SBAH = SABC + SACH (tính chất 2) 1 Nhưng: SACH = AH.CH (diện tích tam giác vuông) 2 1 SABH = AH.BH (diện tích tam giác vuông) 2 1 1 Vậy : S ABC = (BH –CH). AH = BC.AH 2 2 c/ Điểm H trùng với một trong các đỉnh B hay C (Hình c) Giả sử H  B. Khi đó ABC vuông tại B. Ta có : S = 1 BC.AB = 1 BC.AH 2 2 Ghi nhớ: Với AH, BK, CI là các đường cao của ΔABC ta luôn có: AH.BC = BK.AC = CI.AB 1.5. Diện tích hình thang: S = 1 (a+ b) .h 2 Chứng minh: Cho hình thang ABCD (AB // CD) và gọi AH là đường cao, S là diện tích. Vẽ đường chéo AC ta được hai tam giác ABC, ACD có cùng chiều cao. Do đó: SABCD = SADC + SACB ( tính chất 2) A a B 1 1 h Nhưng: SADC = DC.AH, SACB = AB.AH 2 2 D H b C 1 Suy ra: SABCD = ( AB+DC).AH 2 Vậy S= 1 (a+b)h 2 GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi.5
4. SKKN: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 2.1 Chứng minh định lí Talet: A AD AE Cho ABC, nếu DE//BC thì AB AC D E B C Hướng dẫn Chứng minh: ΔADE và ABE có chung đường cao kẻ AD AE từ E nên AD S AB AC theo bổ đề 1 ta có ADE (1) AB SABE ΔAED và ACD có chung đường cao kẻ SABE = SACD AE S từ D nên theo bổ đề 1 ta có : AED (2) AC SACD SABC – SBEC = SABC – SBDC Ta lại có : SBEC = SBDC (chung đáy BC, các đường cao tương ứng bằng nhau) AD SADE AE SAED Nên SABC – SBEC = SABC – SBDC SABE = AB SABE AC SACD SACD (3) AD AE Từ (1) , (2) và (3) suy ra . AB AC 2.2 Chứng minh tính chất phân giác của tam giác. DB AB Nếu AD là phân giác của ΔABC thì DC AC Cách 1: Dùng định lý Talet để chứng minh (tham khảo SGK toán 8 tập 2 tr 66) Cách 2: Dùng diện tích để chứng minh. Hướng dẫn: DB AB A DC AC K H 1 DH.AB DB S B S AB ADB C ADB 2 D S 1 AC DC SADC ADC DK.AC 2 1 1 SADB = DH.AB, SADC = DK.AC 2 2 GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi.7
5. SKKN: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 Bài toán 2: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trong tam giác đều ABC đến ba cạnh của tam giác bằng chiều cao của tam giác đó. Hướng dẫn Giải : Gọi a là độ dài các cạnh của tam giác đều ABC, h là đường cao MD ME MF h A của tam giác đều. Ta có: a a a a F E .MD .ME .MF .h SMBC + SMAC + SMAB = SABC M 2 2 2 2 B D C SMBC SMAC SMBA SABC a a a a .MD .ME .MF .h 2 2 2 2 a a (MD ME MF) .h 2 2 MD ME MF h Ghi nhớ : Phải kẻ các đường phụ MA, MB, MC để tạo ra các tam giác MBC, MAC, MAB. Bài toán 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Điểm M thuộc tia đối của tia BC. Chứng minh rằng hiệu các khoảng cách từ điểm M đến các đường thẳng AC và AB bằng đường cao ứng với cạnh bên của tam giác ABC. Giải : Đặt AB = AC = a , kẻ MH  AC , Hướng dẫn A MK  AB, BI  AC. A MH MK BI Ta sẽ chứng minh MH – MK = BI H Ta có : SMAC – SMAB = S ABC I H a a a AC.MH AB.MK AC.BI I .MH .MK .BI 2 2 2 2 2 2 M B C M B C a a a .MH .MK .BI K K 2 2 2 SMAC – SMAB = SABC a a (MH MK) .BI 2 2 MH MK BI Ghi nhớ: Sử dụng tính chất 2 về diện tích đa giác để có SMAC – SMAB = SABC GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi.9
6. SKKN: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 Giải : Cách 1 Kẻ AH , BK ,CN, DM vuông góc với EF. Đặt AH = BK = h1 ; CN = DM = h2 1 1 Ta có : OE .h1 + OE.h2 = SOEA + S OED = SOAD (1) 2 2 1 1 OF .h1 + OF.h2 = SOFB + SOFC = SOBC (2) 2 2 Ta lại có: SADC = SBDC SADC – SODC = SBDC – SODC SOAD = SOBC (3) 1 1 Từ (1), (2) và (3) suy ra : OE (h1 + h2 ) = OF ( h1 + h2 ) 2 2 Do đó: OE =OF Ghi nhớ: Vẽ thêm các đường cao để sử dụng công thức diện tích tam giác. Cách 2: (Ký hiệu như hình vẽ.) Hướng dẫn A B 1 3 Ta có : SADC = SBDC , E F 2 O 4 cùng trừ đi S5 được :S1 + S2 = S3 + S4 (1) 5 D C Giả sử OE > OF thì S1 > S3 và S2 > S4 nên S1 + S2 > S3 + S4 trái vơí (1) Giả sử OE < OF thì S1 < S3 và S2 < S4 nên S1 + S2 < S3 + S4 trái vơí (1) Vậy OE = OF. Ghi nhớ: Có thể sử dụng phương pháp phản chứng kết hợp với phương pháp diện tích để chứng minh. Bài toán 6: Cho hình bình hành ABCD. Điểm E trên tia đối của tia BA, điểm F trên tia đối của tia DA. Nối BF và DE cắt nhau tại K. Chứng minh diện tích tứ giác ABKD bằng tổng diện tích hai tam giác CKE và CKF. GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi. 11
7. SKKN: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 Cụ thể, tôi so sánh kết quả kiểm tra chương I hình học 8 của học sinh khối 8 trong năm học vừa qua (tôi có áp dụng giải pháp) với kết quả bài kiểm tra chương I hình học 8 của các năm học trước (khi chưa áp dụng giải pháp này) đã thu được kết quả như sau: Giỏi Khá Tbình Yếu Kém Khi chưa áp dụng 10% 15% 35% 28% 12% Khi áp dụng 29,7% 32,4% 21,8% 13,5% 2,7% Trong năm học này, khi tôi đã áp dụng giải pháp ở lớp 8A1 sau đó thử cho 1 bài tập sau và kiểm tra trong 5 phút để lấy kết quả. * Nội dung bài tập khảo sát: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng: AH.BC=AB.AC ( Học sinh sử dụng công thức tính diện tích tam giác để chứng minh) 0-2,9 3,0-4,9 5,0-6,4 6,5-7,9 8,0-10,0 Lớp SS SL % SL % SL % SL % SL % 8A1 37 4 10.8 5 13.5 12 32.4 9 24.3 7 18.9 GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi. 13
8. SKKN: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 giỏi, tôi thấy học sinh tiếp thu hào hứng và mạnh dạn suy nghĩ theo hướng dùng diện tích để giải quyết bài toán. Để đạt được hiệu quả cao ngoài phương pháp dạy tốt thì giáo viên phải thường xuyên nghiên cứu thêm tài liệu về phương pháp diện tích các phần miềm giảng dạy như sketchpad, mathcad Bên cạnh đó kết hợp với phương tiện dạy học như máy chiếu, các hình ảnh trực quan thì bài học sẽ sinh động và gần gũi với thực tế hơn. Nhờ đó học sinh học sinh sẽ lĩnh hội được kiến thức một cách tốt hơn, kết quả giảng dạy sẽ cao hơn. Trên đây là những giải pháp giảng dạy phương pháp diện tích trong chứng minh hình học. Rất mong sự góp ý của các đồng nghiệp. Liên Nghĩa, ngày 25 tháng 5 năm 2018 Người báo cáo (Ký, ghi rõ họ tên) Bạch Long Hùng Ý KIẾN CỦA BAN GIÁM HIỆU . . GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi. 15
9. SKKN: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 ➢ Tài liệu tham khảo: 1. Phan Văn Đức - Nguyễn Hoàng Khanh - Lê Văn Trường , Bồi dưỡng và phát triển toán hình học 8, Nhà xuất bản Đà Nẳng. 2. Nguyễn Để - Nguyễn Việt Hải - Hoàng Đức Chính, Các bài tập toán diện tich đa giác, Nhà xuất bản giáo dục 1996 3. Huỳnh công bằng, phương pháp diện tích. 4. 500 bài toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8.- Nhà xuất bản ĐHSP. 5. Toán nâng cao hình học 8 – Nhà xuất bản giáo dục . 6. Các chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi trung học cơ sở – Nhà xuất bản Giáo dục GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi. 17