Sáng kiến kinh nghiệm Dạy giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Dạy giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

1. Mở đầu Lý do chọn đề tài Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở chương trình đại số lớp 9 ở trường trung học cơ sở là một dạng toán tương đối khó đối với học sinh. Do đặc trưng của loại toán này thường là loại toán có đề tài bằng lời văn và thường được xen trộn nhiều dạng ngôn ngữ (Ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toán học, vật lý ). Hầu hết các bài toán có dữ kiện dàng buộc nhau, ẩn ý dưới dạng lời văn, buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm được sự liên quan giữa các đại lượng dẫn đến việc lập phương trình hoặc hệ phương trình mà thực chất các vấn đề khoa học giải toán là giải phương trình. Trong phân phối chương trình toán ở trường trung học cơ sở thì toán lớp 8 học sinh mới được học về khái niệm phương trình và các phương trình. Nhưng việc giải phương trình đã có trong chương trình toán từ lớp 1 với mức độ và yêu cầu tùy theo từng đối tượng học sinh. ở lớp 1, 2 phương trình được cho dưới dạng: Điền số thích hợp vào ô trống: - 2 = 5 ở lớp 3 được nâng dần dưới dạng: x + 3 – 2 = 10 ở lớp 4, 5 cho dưới dạng phức tạp hơn, chẳng hạn: x : 3 = 4 : 2 x x 3 +5 = 11, (x – 15 ) x 7 = 21 ở lớp 7, 8, 9 ngoài những mối liên hệ như bài toán còn cho dưới dạng lời văn có các dữ kiện kèm theo. Vì vậy, muốn giải được loại toán này học sinh cần phải suy nghĩ để thiết lập mối quan hệ dẫn đến việc lập phương trình ( hệ phương trình ). Mối đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán là đều được gắn liền với nội dung thực tế. Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thường là những số liệu có liên quan đến thực tế đó. Do khi giải toán học sinh thường mắc sai lầm là thoát li được thực tế, dẫn đến quên điều kiện của ẩn số. Học sinh không khai thác hết mối quan hệ giàng buộc của thực tế từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm 1
2. dạng toán này. Mặt khác, cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ giáo viên mới chỉ dạy học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của Sách Giáo Khoa mà chưa biết phân loại toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng toán. Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu trong quá trình đặt ẩn số, mối liên hệ giữa các số liệu trong bài toán, dẫn đến lúng túng trong việc giải toán này. Vì thế, muốn giải toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình điều quan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ trong bài toán thành những quan hệ toán học. Do vậy, nhiệm vụ của người thầy là phải dạy cho học sinh cách dẫn giải bài tập . Do đó khi hướng yêu cầu về giải một bài toán này phải dựa trên một số nguyên tắc chung: Yêu cầu về giải một bài toán, quy tắc giải toán về cách lập phương trình, phân loại dạng toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lượng (tăng, giảm, thêm, bớt ) làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập được phương trình dễ dàng. Đây là bước quan trọng và khó khăn đối với học sinh. Với mong muốn được trao đổi với đồng nghiệp những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy về dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình”. Vì vậy tôi đã chọn đề tài “ Dạy giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình.” Trong thời gian giảng dạy ở trường THCS tôi đã được học hỏi rất nhiều kinh nghiệm của các thầy cô giáo lớp trước và được đồng nghiệp trong nhóm giúp đỡ, đặc biệt là sự hướng dân tận tình của thầy Tống Trần Hoàn đã giúp tôi hoàn thành đề tài này. Tôi xin chân thành cảm ơn ! 2
3. Nội dung chương i Phương pháp nghiên cứu và yêu cầu giải một bài toán I. Phương pháp nghiên cứu. Dựa vào phân phối chương trình chung của Bộ giáo dục - Đào tạo ban hành về chương trình toán THCS với nội dung: Phương trình và hệ phương trình. Phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài toán trên là dựa vào nguyên tắc chung: Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Nội dung quy tắc gồm các bước: Bước 1: Lập phương trình (gồm các công việc). - Chọn ẩn số (Chú ý ghi rõ đơn vị và điều kiện cho ẩn). - Biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn và các số liệu đã biết. - Dựa vào mối quan hệ giữa các số liệu để lập phương trình (hệ phương trình). Bước 2: Giải phương trình và hệ phương trình. Tùy thuộc vào từng dạng phương trình và hệ phương trình mà chọn cách giải cho thích hợp. Bước 3: Nhận định kết quả và trả lời. So sánh nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn xem có thích hợp không rồi trả lời kết quả (có kèm đơn vị). Mặc dù đã có quy tắc trên song người giáo viên trong quá trình hướng dẫn giải bài toán này cần cho học sinh vận dụng theo sát các yêu cầu về giải bài toán nói chung. ii. Yêu cầu về giải một bài toán. 1. Yêu cầu 1: Lời giải không phạm phải sai lầm, không có sai sót dù nhỏ. Muốn vậy giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề bài, trong quá trình giải không có sai sót về kiến thức cơ bản, phương pháp suy luận, kỹ năng tính toán, cách kí hiệu ẩn phải chính xác, phải phù hợp với bài toán và trên thực tế. 3
4. Ví dụ 1: Tỷ số tuổi anh và tuổi em bằng 0,5 ; sau 3 năm tỷ số tăng thêm 0,1. Hỏi tuổi anh và tuổi em hiện nay? - Phân tích đề bài: Tỷ số tuổi anh và tuổi em bằng 0,5 ( = 1/2). Từ đó ta có tuổi anh gấp đôi tuổi em. Sau 3 năm, tuổi anh và tuổi em đều tăng 3 đơn vị; khi đó, tỷ số tuổi của anh và của em là: 0,5 + 0,1 = 0,6. - Giải: Gọi tuổi em hiện nay là: x ( x > 0; x Є N). Thì tuổi anh hiện nay là: 2x. Sau 3 năm nữa tuổi em là: x + 3. Sau 3 năm nữa tuổi anh sẽ là: 2x + 3. Theo đầu bài ra ta có phương trình : x + 3 0,6 2x + 3 x + 3 = 0,6 (2x + 3) x = 6 (T/m điều kiện). Vậy tuổi em hin nay là: 6 (tuổi). Tuổi anh hiện nay là : 6 x 2 = 12 (tuổi). 2. Yêu cầu 2: Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác. Trong quá trình thực hiện từng bước phải có lôgíc chặt chẽ với nhau có cơ sở lý luận chặt chẽ, đặc biệt phải chú ý đến việc thỏa mãn điều kiện nêu trong giả thiết. Xác định ẩn phải khéo léo, mối quanhệ giữa ẩn và các dữ kiện đã cho phải làm nổi bật được ý phải tìm. Nhờ mối tương quan giữa các đại lượng trong bài toán thiết lập được phương trình (hệ phương trình), từ đó tìm được các giá trị của ẩn. Muốn vậy giáo viên cần làm cho học sinh xác định rõ ràng đâu là ẩn đâu là dữ kiện, đâu là điều kiện. Điều kiện có đủ để xác định được ẩn không? Từ đó mà xác được hướng đi, xây dựng được lời giải. Ví dụ 2: 4
5. Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhay 4m. Tính chu vi của khu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1020 m2. Giải: Gọi chiều rộng của khu đát hình chữ nhật đó là: x (m) (x > 0). => Chiều dài của khu đất là: x + 4 (m). Ta có phương trình: x (x + 4) = 1020. x2 + 4x - 1020 = 0. x1 = 30 (t/m) x2 = -34 (loại). Vậy: Chiều rộng của khu đất là: 30m Chiều dài của khu đất là: 30 + 4 = 34m. Chu vi hình chữ nhật là: (30 + 34) x 2= 128 (m). Chú ý: ở đây giáo viên cần lưu ý học sinh từ điều kiện loại nghiệm: x = -34 chỉ lấy nghiệm: x =30. 3. Yêu cầu 3: Lời giải thích phải đầy đủ và mang tính toàn diện. Hướng dẫn học sinh không được bỏ sót khả năng chi tiết nào, không thừa nhưng không được thiếu. Rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đã đầy đủ chưa? Kết quả của bài toán đã là đại diện phù hợp với mọi cách chung? Nếu thay đổi điều kiện của bài toán rơi vào trường hợp đó thì kết quả vẫn luôn đúng? Ví dụ 3: Một cạnh tam giác có chiều cao bằng 3/4 cạch đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3cm và cạch đáy giảm đi 5cm thì diện tích tam giác đó bằng 9/10 diện tích ban đầu. Tính chiều cao và cạch đáy của tam giác lúc đầu? - Phân tích: Dù chiều cao và cạch đáy của tam giác có thay đổi thì diện tích (S) của tam giác luôn được tính theo công thức: S = 1/2 . (cạch đáy . chiều cao). - Giải: Gọi cạnh đáy của tam giác lúc đầu là: x (cm) (x>5) 5
6. 3 Chiều cao của tam giác là: x (cm). 4 Diện tích tam giác ban đầu là: 1 3 3 2 2 S = x. x x (cm ) . 1 2 4 8 3 Khi tăng chiều cao lên 3cm thì chiều cao mới là: + 3 (cm). 4 x Khi giảm cạnh đáy đi 5cm thì cạnh đáy mới là: x - 5 (cm) Diện tích tam giác khi đó là: 1 3 S = .( x 3).(x 5) 2 2 4 Theo bài ra ta có: 1 3 9 3 2 .( x 3).(x 5) . x 2 4 10 8 1 3 9 3 2 . ( x 3).(x 5) . x 2 4 10 8 1 (3x 12).(x 5) 9 3 . . x2 2 4 10 8 9x2 (x 4).(x 5) 10 10(x2 4x 5x 20) 9x2 2 x 10x 200 0 x1 = 20 ( thỏa mãn điều kiện ) x2 = - 10 ( loại ) Vậy cạnh đáy của tam giác lúc ban đầu là 20cm 3 Chiều cao của tam giác là: .20 = 15 (cm). 4 4. Yêu cầu 4: Lời giải bài toán phải đơn giản và phù hợp với kiến thức trình độ học sinh; đại đa số học sinh có thể hiểu và áp dụng được. Ví dụ 4: Một xưởng may phải may xong 3000 áo trong một thời gian quy định. Để hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 6 áo so với số 6
7. áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế, 5 ngày trước khi hết thời hạn xưởng đã may được 2650 áo. Hỏi theo kế hoạch xưởng phải may trong thời gian bao lâu và mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu áo? - Giải: Gọi số áo phải may trong 1 ngày theo kế hoạch là x. (x Є N; x > 0) 3000 Thời gian quy định may xong áo là (ngày). x Số áo thực tế may được trong 1 ngày là: x + 6 (áo). 2650 Thời gian may xong 2650 áo là: (ngày). x 6 Vì xưởng may xong 2650 áo trước khi hết hạn 5 ngày nên ta có phương trình: 3000 2650 5 x x 6 x2- 64x – 3600 = 0 x1= 100 (thỏa mãn điều kiện) x2= -36 (loại). Vậy: Theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong 100 áo. 3000 Thời gian quy định may xong 3000 áo là: = 30 (ngày). 100 5. Yêu cầu 5: Lời giải phải được trình bày khoa học, mối liên hệ giữa các bước giải trong bài toán phải lôgíc, chặt chẽ với nhau, các bước sau được suy luận từ các bước trước nó đã được kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc đã biết trước. Ví dụ 5: Chiều cao của một tam giác vuông là 9.6 m và chia cạnh huyền làm 2 đoạn hơn kém nhau 5,6 m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác. - Phân tích: Xét tam giác vuông ABC. Giả sử AC > AB CH > BH. Cần chú ý rằng: AH2 = BH . CH C H A B - Giải: Gọi dộ dài BH là x (m) (x>0). Độ dài CH là x+ 5,6 (m). Theo công thức hệ thức lượng trong tam giác, ta có phương trình: x.(x + 5,6) = 9,62 7
8. x2 + 5,6 x - 92,16 = 0 x1 = 7,2 (thỏa mãn điều kiện). x2 = - 12,8(loại). Vậy: BH = 7,2 m CH = 7,2 + 5,6 = 12,8 m. Độ dài cạnh huyền là : BC = BH + CH = 7,2 + 12,8 = 20 (m) 6. Yêu cầu 6: Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ. Các bước cần lập luận không chồng chéo, phủ định lẫn nhau. Muốn vậy cần rèn cho học sinh có thói quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót nghiệm nhất là đối với phương trình bậc hai, hệ phương trình. Ví dụ 6: Độ dài cạnh huyền của một tam giác là 25, tổng độ dài hai cạnh góc vuông là 35. Tìm độ dài mỗi cạnh của tam giác đó. - Giải: Gọi độ dài các cạnh góc vuông của tam giác là x; y (x > 0; y > 0). Ta có hệ phương trình: x + y = 35 x2 +y2 = 252 = 625 x + y = 35 x + y = 35 (x + y)2 – 2xy = 625 x . y = 300 x, y là nghiệm của phương trình: a2 – 35 a + 300 = 0 a1 = 20; a2 = 15 (thỏa mãn điều kiện). Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 20 và 15. Nhận xét: ở bài toán này, khi tìm ra 2 kết quả là 20 và 15, học sinh sẽ phân vân: 1 hay 2 đáp số? (x = 15; y = 20) ; (x = 20; y = 15). Trên thực tế 2 tam giác vuông này là một. Giáo viên cần xây dựng cho học sinh có thói quen đối chiếu kết quả với điều kiện đầu bài, nếu đảm bảo thì các nghiệm dều hợp lí. (Một bài toán không nhất thiết chỉ có duy nhất 1 kết quả). 8