Sáng kiến kinh nghiệm Cách tính tổng các phân số có quy luật

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Cách tính tổng các phân số có quy luật

1. Kinh nghiệm dạy học A - Đặt vấn đề: 1.Nhận thức về đề tài : Thực hiện đổi mới nội dung chương trình, sách giáo khoa, phương pháp giảng dạy và trang thiết bị dạy học trong toàn ngành giáo dục. Về phương pháp dạy học phải tích cực hoá các hoạt động học tập của học sinh, rèn luyện khả năng tự học, tự phát hiện và giải quyết vấn đề nhằm hình thành và phát triển ở học sinh tình tư duy tích cực độc lập sáng tạo, về hình thức tổ chức không nên áp đặt một hình thức dạy học cứng nhắc mà phải tôn trọng sự sáng tạo của giáo viên dựa trên sự chỉ đạo có tình nguyên tắc nhưng mềm mại và linh hoạt của các cấp chỉ đạo giáo dục. Luật giáo dục đã ghi “Giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của tứng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học tự rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh”. Sự phát triển của khoa học công nghệ hiện nay đòi hỏi nguồn lực lao động phải năng động sáng tạo đáp ứng được yêu cầu của nên công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước. Sự thách thức và nguy cơ tụt hậu trên con đường tiến vào thế kỷ XXI bằng sự cạnh tranh trong nền kinh tế tri thức, đòi hỏi phải đổi mới nội dung và phương pháp giáo dục phổ thông nói chung và môn Toán nói riêng để tạo ra những con người lao động sáng tạo linh hoạt đáp ứng sự phát triển kinh tế xã hội. Như chúng ta đã biết môn toán là môn học rất quan trọng trong nhà trường, toán là nền tảng văn minh của nhân loại, toán học là các chìa khoá của các môn học khác. Chính vì lẽ đó mà các em học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản của môn học này . Một đặc điểm nổi bật của môn toán là xây dựng bằng phương pháp tiên đề, nó được xây dựng hết sức chặt chẽ, đa dạng phong phú, đòi hỏi người học phải có khả năng suy luận, chủ động và sáng tạo thì mới có kết quả tốt trong học tập . 1
2. Kinh nghiệm dạy học Thầy dạy toán phải làm sao gõ được vào trí thông minh của học sinh, thức tỉnh tất cả các tiềm năng sáng tạo của học sinh. Phát huy tính tư duy học sinh trong quã trình học toán không những là vẫn đề cốt lõi của việc dạy toán mà còn là vẫn đề rất lớn trong việc thực hiện mục tiêu đào tạo thế hệ trẻ vì thế tất cả giáo viên dạy toán phải quan tâm đến vẫn đề này . Như chúng ta đã biết trong chương trình giáo dục học sinh bậc THCS bên cạnh việc phải nâng cao chất lượng đại trà là việc phải chú trọng về công tác mũi nhọn bởi ngoài mục tiêu “Nâng cao dân trí , đào tạo nhân lực ” thì không thể coi nhẹ vấn đề: Bồi dưỡng nhân tài phục vụ cho sự nghiệp CNH – HĐH đất nước . Thế hệ học sinh hôm nay sẽ là chủ nhân ngày mai, muốn có đội ngũ cán bộ chủ chốt hay là một con người có ích cho xã hội sau này ngay từ bây giờ chúng ta phải cần quan tâm đến các em, mà việc thiết thực nhất của giáo viên đứng lớp là công tác bồi dưỡng các em để các em có kết quả tốt nhất – Bồi dưỡng học sinh giỏi. Môn Toán - là một học chủ công là trường phổ thông có vị trí đặc biệt quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung ấy. Việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi lại càng quan trọng tuy nhiên điều đáng quan tâm ở đây là : Bồi dưỡng những nội dung gì? bồi dưỡng như thế nào ? để học sinh vừa được trang bị thêm kiến thức về toán học vừa có cái chìa khoá để tìm hiểu, khám phá các kiến thức khác có liên quan. Trong phạm vi có hạn bản thân tôi chỉ xin đi sâu vào một trong những nội dung mà bản thân tôi đã áp dụng khi bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 6 đó là đề tài “Cách tính tổng các phân số có quy luật”. 2, Cơ sở xác lập đề tài : a. Cơ sở lý luận . Đề tài được xác lập dựa trên yêu cầu về mục đích giáo dục của trường THCS, dựa vào quy luật nhận thức của người học sinh là đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, kiến thức trước phải làm nền móng cho kiến thức sau : 2
3. Kinh nghiệm dạy học b. Cơ sở thực tiễn: Đề tài được nghiên cứu dựa vào cấu trúc của sách giáo khoa toán 6 (chương trình mới được áp dụng từ năm 2002). Đồng thời cũng là xuất phát từ năng lực, trình độ của học sinh trên địa bàn huyện nhà. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Là học sinh lớp 6. Phạm vi nghiên cứu: Bởi lý do và địa bàn cách trở không cho phép, tôi chỉ nghiên cứu các HS lớp 6 trong phạm vi trường THCS Nghĩa Hoàn. Tài liệu tham khảo 1. Sách giáo khoa toán 6 2. Sách bài tập toán 6. 3. Tạp chí “Thế giới trong ta”. 4. Báo hoa học trò 5. Sách bồi dưỡng học sinh khá giỏi Toán 6. B/ Nội dung chính : Kết quả kiểm định khi chưa đưa ra “Cách tính tổng theo quy luật” Không có HS nào đạt điểm giỏi và khá 1/ Những vấn đề chung : Chúng ta đều biết rằng toán học rất đa dạng về kiểu loại và cũng rất phong phú về cách giải. Vì vậy người dạy muốn bồi dưỡng học sinh một cách khoa học thì phải đi theo từng chuyên đề, từng dạng riêng. Các dạng đó phải được sắp xếp có hệ thống, có mối liên hệ với nhau để học sinh có thể vận dụng các dạng đã biết mà khai thác các dạng chưa biết khi bồi dưỡng từng chuyên đề, từng dạng giáo viên cần chỉ ra phương pháp chung mang tính chất tổng quát cho từng dạng, hệ thống bài tập trong mỗi chuyên đề cũng đi từ dễ đến khó mỗi 3
4. Kinh nghiệm dạy học bài , mỗi dạng giáo viên cần giúp học sinh tìm ra nhiều cách giải và chọn ra cách giải hay nhất. Với mong muốn giúp học sinh rèn luyện khả năng giải toán cho học sinh khá giỏi tôi đã xây dựng một hệ thống các chuyên đề. ở đây xin đưa ra vấn đề “Cách tính tổng các phân số có quy luật và một số ứng dụng của tổng phân số viết theo quy luật” 2. Nội dung cụ thể của đề tài : “Cách tính tổng các phân số viết theo quy luật và một số ứng dụng của tổng phân số viết theo quy luật” Cơ sở xuất phát của đề tài, ta đi từ bài tập sau : Bài tập : Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 a) c) 1 2 3 4 1 1 1 1 b) d) 2 3 b b m Giải : 1 1 1 1 1 1 a) = c) = 1 2 2 3 4 12 1 1 1 1 1 m b) = d) = 2 3 6 b b m b.(b m) Bây giờ , giả sử có bài tập mà mỗi số hạng của tổng là kết quả của bài tập trên thì thì ta làm như thế nào ? GV yêu cầu HS làm bài tập sau Bài tập 1 : Tính tổng bằng phương pháp hợp lý nhất : 1 1 1 1 a. A = + + + + 1.2 2.3 3.4 49.50 2 2 2 2 b. B = + + + + 3.5 5.7 7.9 37.39 3 3 3 3 c. C = + + + + 4.7 7.10 10.13 73.76 4
5. Kinh nghiệm dạy học Giải: Đảo lại của bài tập trên ta có : 1 1 1 1.2 1 2 1 1 1 2.3 2 3 1 1 1 3.4 3 4 1 1 1 49.50 49 50 1 1 1 1 1 Ta thay vào A = 1.2 2.3 3.4 4.5 49.50 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 2 2 3 3 4 49 50 Ta thấy trong tổng A lúc này: Trừ số hạng đầu và số hạng cuối, ở giữa có từng cặp số hạng đối nhau nên chúng tự khử lẫn nhau. 1 1 nên A = ( còn lại số hạng đầu và số hạng cuối ) 1 50 A = 49 50 GV cho HS làm tương tự đối với câu b) 2 1 1 3.5 3 5 2 1 1 5.7 5 7 2 1 1 37.39 37 39 1 1 12 4 Thay vào B ta được B = 3 39 39 13 Qua bài tập 1 5
6. Kinh nghiệm dạy học GV cho HS tìm ra quy luật của các số hạng trong tổng các phân số : Ta thấy tử của chúng không thay đổi và đúng bằng hiệu hai thừa số ở mẫu, thừa số cuối ở mẫu trước bằng thừa số đầu ở mẫu sau. Gv cho HS tìm ra quy luật cho cách tính tổng : Để giải loại toán này giáo viên hướng dẫn cho học sinh tính tổng các phân số với các số hạng có dạng m : b.(b m) m 1 1 Mà ( m N ) (I) b .( b m ) b b m Để viết mỗi số hạng thành một hiệu của hai phân số. Số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau rối khử liên tiếp, còn lại số bị trừ đầu tiên và số trừ cuối cùng lúc đó phép tính được thực hiện dễ dàng. GV khắc sâu cho HS qua việc tìm quy luật ở trên : Bài dạng tính tổng này khi nào thực hiện được (tránh HS máy móc các tổng có quy luật khác quy luật trên ) Yêu cầu HS tự tìm ra giải pháp : để tính tổng theo quy luật thì các phân số có tử bằng nhau và đúng bằng hiệu của 2 thừa số ở mẫu, thừa số cuối ở mẫu trước bằng thừa số trước ở mẫu sau Giáo viên cho học sinh vận dụng trực tiếp công thức trên làm bài tập sau: Bài tập 2: Tính tổng sau bằng phương pháp hợp lý nhất 4 4 4 4 a. A = 3 . 7 7 . 11 11 . 15 107 . 111 2 2 2 2 b. B = 15 35 63 399 Giải: a. Đối với câu a học sinh dễ dàng vận dụng cách giải, vì tổng trên các số hạng: tử và mẫu được viết theo quy luật: tử đều bằng 4 và bằng hiệu hai số ở mẫu (7 – 3 = 11 – 7 = . = 111 – 107 = 4); thừa số cuối ở mẫu trước bằng thừa số sau của mẫu sau. 1 1 1 1 1 1 1 1 A = 3 7 7 11 11 15 107 111 6
7. Kinh nghiệm dạy học 1 1 37 1 36 12 = 3 111 111 111 111 37 b.Đối với câu b các số hạng của tổng chưa có quy luật: ta thấy 15 = 3 . 5 ; 35 = 5 . 7 ; 63 = 7.9 ; . Các số hạng có tử là 2, mẫu là tích của hai số có hiệu bằng số ở tử số như vậy thỏa mãn quy luật nên trên công thức: 2 2 2 2 B = 15 35 63 399 2 2 2 2 = 3 . 5 5 . 7 7 . 9 19 . 21 1 1 1 1 1 1 1 1 B = 3 5 5 7 7 9 19 21 1 1 7 1 6 2 = 3 21 21 21 21 7 Từ bài tập 2, phát triển bài toán mới yêu cầu học sinh phải biến đổi qua 1 bước trung gian khi đó mới xuất hiện tổng các phân số có quy luật, ta có bái toán sau: Nhận xét: Nếu có bài tập mà các mẫu là không phải là tích của hai số có hiệu bằng số ở tử số. Vậy ta có bài tập sau: Bài tập 3: Tính tổng sau: 1 1 1 1 A = 10 15 21 120 Đối với bài tập 3, học sinh chưa tìm ra quy luật của dãy, giáo viên cho học sinh nhận xét sau: Ta thấy tổng đã cho lúc đầu, các số hạng đều có tử là 1 nhưng mẫu số không phải là tích của hai thừa số có hiệu bằng 1: (10 = 2.5; 15 = 3.5; 21 = 3.7; ) vì vậy ta áp dụng tính chất cơ bản, nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với 2, ta được các mẫu mới lần lượt là: 20, 30, 42, ., 240. Ta thấy: 20 = 4.5; 30 = 5.6 ; 42 = 6.7 ; , thỏa mãn yêu cầu có hiệu của 2 thừa số bằng 1. Nhưng tử của mỗi phân số không phải là 1 mà 7
8. Kinh nghiệm dạy học là 2 nên ta phải dùng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để đặt số 2 ra ngoài dấu ngoặc, cụ thể ta làm như sau: 1 1 1 1 Giải: A = 10 15 21 120 2 2 2 2 A = 20 30 42 240 1 1 1 1 A = 2.( . . . . ) 4 . 5 5 . 6 6 . 7 1 5 . 1 6 1 1 1 1 1 1 1 1 A = 2.( ) 4 5 5 6 6 7 15 16 1 1 3 3 A = 2.( ) = 2. = 4 16 16 8 Nhận xét : Nếu có bài tập mà mẫu có dạng tích của hai số nhưng có hiệu không bằng số của tử số ta có bài tập sau Tương tự bài tập 3, giáo viên ra một số bài tập để học sinh khắc sâu về dạng bài tập như trên. Bài tập 4: Tính tổng sau: 7 7 7 7 a. A= 10 .11 11 .12 12 .13 69 .70 6 6 6 6 b. B = 4 28 70 304 32 32 32 32 c.C = + + + .+ 8.11 11.14 14.17 197.200 Giải: a. Đối với câu a, các số hạng đều có tử là 7 nhưng mỗi mẫu tích của 2 thừa số có hiệu bằng 1. Vì vậy để có cách giải nhanh theo quy luật, ta đặt số 7 ra ngoài dấu ngoặc 8